[论文解读] Hamiltonian formalism of cosmological perturbations and higher derivative theories

Debottam Nandi|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2017

Cosmology and Gravitation Theories被引用 5

一句话总结

本论文为高阶导数引力与物质理论中的宇宙微扰构建了一个通用的哈密顿形式体系，实现了无需慢滚近似条件下的相互作用哈密顿量高效计算。该研究建立了作用量方法与逐阶爱因斯坦方程方法之间的等价性，构建了一个在弯曲时空下具有二阶场方程的向量伽利略模型，并预测了具有可观测信号的原初磁化现象。

ABSTRACT

The focus of the thesis is to obtain a universal formalism to evaluate the perturbations during inflation at all orders that can be applied to any theory of gravity and matter source in the early universe. We first look at the equivalence of two approaches --- action and order-by-order gravity equation approach --- for cosmological perturbation theory, and establish that both lead to equivalent results for any gravity models at any order of perturbations. We then focus on Hamiltonian formalism that has not been studied extensively in the literature. We provide a generalized Hamiltonian approach for cosmological perturbations which is equivalent to the Lagrangian approach. We show that, the approach can be applied to any model at any order of perturbations. Using this approach, we show that evaluating interaction Hamiltonian is simpler and efficient than earlier approach. In the next work, we concentrate on generalized non-canonical scalar field and by introducing a new variable provide a technique to write Hamiltonian for generalized non-canonical scalar field. We then implement our Hamiltonian approach for non-canonical scalar field and evaluate interaction Hamiltonian without slow-roll approximations. Finally, for the first time, we construct a vector Galileon model in curved space-time in which, the field equations do not contain any higher-derivative terms, yet, preserving U(1) gauge-invariance. Conformal invariance is broken in this model which leads to primordial magnetogenesis and we compare the predictions of our model with observations.

研究动机与目标

• 建立一个适用于任意引力与物质理论在所有微扰阶次下的宇宙微扰计算的统一框架。
• 证明在宇宙微扰理论中，基于作用量的方法与逐阶爱因斯坦方程方法在所有阶次下具有等价性。
• 开发一种广义哈密顿形式体系，相较于现有方法，可更简化地计算相互作用哈密顿量。
• 将哈密顿方法推广至广义非共轭标量场，且不依赖于慢滚近似。
• 在弯曲时空下构建一个具有二阶场方程的向量伽利略模型，保持U(1)规范不变性，并实现原初磁化现象。

提出的方法

• 推导出一种广义的宇宙微扰哈密顿形式体系，其与标准拉格朗日方法等价，并可适用于任意引力模型在任意微扰阶次下的情形。
• 引入一种新变量以处理广义非共轭标量场，从而在不依赖慢滚假设的前提下，促进其哈密顿量的构建。
• 应用哈密顿形式体系高效计算相互作用哈密顿量，避免了传统微扰展开的复杂性。
• 通过确保场方程仅包含至多二阶导数，在FRW时空下构建了向量伽利略模型，同时保持U(1)规范不变性。
• 利用哈密顿框架计算电场与磁场能量密度谱，包括来自向量模式的贡献。
• 推导出原初磁场功率谱，并与宇宙微波背景辐射及大尺度结构的观测约束进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意引力与物质理论在所有微扰阶次下构建一个统一的宇宙微扰哈密顿形式体系？
• RQ2 在所有微扰阶次下，高阶导数引力模型中基于作用量的方法与逐阶爱因斯坦方程方法是否等价？
• RQ3 哈密顿形式体系能否推广至处理非共轭标量场，且不依赖于慢滚近似？
• RQ4 是否可能在弯曲时空下构建一个具有二阶运动方程的向量伽利略模型，同时保持U(1)规范不变性并打破共形不变性？
• RQ5 所构建的向量伽利略模型的可观测预测为何，特别是关于原初磁化现象及向量模式功率谱？

主要发现

• 基于作用量的方法与逐阶爱因斯坦方程方法在任意引力模型的所有微扰阶次下均得到等价结果，验证了不同方法间的一致性。
• 所提出的哈密顿形式体系简化了相互作用哈密顿量的计算，相较于以往方法提供了更高效且系统化的框架。
• 通过引入新变量，成功构建了非共轭标量场的广义哈密顿量，使得无需慢滚近似即可进行计算。
• 首次实现了在弯曲时空下具有二阶场方程且保持U(1)规范不变性的向量伽利略模型的自洽构造。
• 该模型打破了共形不变性，导致原初磁化现象，并预测在粒子视界穿越时，磁场功率谱满足 $\mathcal{P}_B \propto H_*^4 (k/k_*)^4 $ 的标度关系。
• 电场与磁场能量密度谱以闭合形式推导得出，明确依赖于声速 $c_s$、慢滚参数及模型系数，从而可直接与观测数据进行比较。