[论文解读] Hamiltonian Formulation of Palatini f(R) theories a la Brans-Dicke

Gonzalo J. Olmo, Hèlios Sanchis-Alepuz|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文通过将帕拉蒂尼 f(R) 引力映射到 ω = -3/2 的布兰斯-狄克理论，提供了其哈密顿形式化，证明尽管存在关于其不适定性的争议，柯西问题仍是适定的。它识别出标量场的退化动量，导致代数约束，从而消除高阶时间导数，确保初值问题的适定性与广义相对论相当。

ABSTRACT

We study the Hamiltonian formulation of f(R) theories of gravity both in metric and in Palatini formalism using their classical equivalence with Brans-Dicke theories with a non-trivial potential. The Palatini case, which corresponds to the w=-3/2 Brans-Dicke theory, requires special attention because of new constraints associated with the scalar field, which is non-dynamical. We derive, compare, and discuss the constraints and evolution equations for the ww=-3/2 and w eq -3/2 cases. Based on the properties of the constraint and evolution equations, we find that, contrary to certain claims in the literature, the Cauchy problem for the w=-3/2 case is well-formulated and there is no reason to believe that it is not well-posed in general.

研究动机与目标

• 通过利用其与 ω = -3/2 的布兰斯-狄克理论的等价性，提供帕拉蒂尼 f(R) 引力的哈密顿形式化。
• 解决文献中关于帕拉蒂尼 f(R) 理论柯西问题不适定性的相互矛盾的主张。
• 分析 w = -3/2 情况下的约束结构与演化方程，特别关注非动力标量场的作用。
• 将帕拉蒂尼 f(R) 的哈密顿结构与标准布兰斯-狄克理论（w ≠ -3/2）及广义相对论进行比较。
• 确立演化方程中无高阶时间导数，从而确保初值问题的适定性。

提出的方法

• 使用正则变换将帕拉蒂尼 f(R) 引力映射为具有非平凡势能和 ω = -3/2 的布兰斯-狄克理论。
• 对哈密顿形式化应用狄拉克约束分析，识别一阶与二阶约束。
• 推导 w ≠ -3/2 与 w = -3/2 情况下的约束与演化方程，重点关注标量场动量的退化性。
• 表明标量场 φ 由能量-动量张量的迹 T 代数决定，从而导出二阶约束 φ = φ(T)。
• 证明演化方程中不包含 φ 或其共轭动量的时间导数，从而保持适定性。
• 将所得方程与广义相对论及标准布兰斯-狄克理论的方程进行比较，以评估初值问题的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在关于不适定性的争议，帕拉蒂尼 f(R) 引力（等价于 ω = -3/2 的布兰斯-狄克理论）的柯西问题是否仍为适定？
• RQ2 w = -3/2 情况下的约束结构与标准布兰斯-狄克理论（w ≠ -3/2）有何不同？
• RQ3 在帕拉蒂尼情形下，标量场 φ 的作用是什么？为何其不引入高阶时间导数？
• RQ4 为何先前关于不适定性的主张源于错误方程？如何进行更正？
• RQ5 帕拉蒂尼 f(R) 引力中的初值问题在结构上与广义相对论的初值问题在多大程度上等价？

主要发现

• 帕拉蒂尼 f(R) 引力的柯西问题被证明是适定且形式良好的，与文献中先前的争议性主张相反。
• 在 w = -3/2 情况下，标量场 φ 是非动力的，且由能量-动量张量的迹 T 代数决定。
• 标量场动量的退化性导致一个新的初级约束，经一致性检验后，产生一个二级约束 φ = φ(T)。
• 演化方程中不包含 φ 或其共轭动量的时间导数，从而确保物质场无高阶时间导数。
• 无高阶时间导数意味着初值问题的适定性与广义相对论相当。
• w = -3/2 情况下的约束与演化方程在结构上与广义相对论相似，仅涉及 φ(T) 的至多二阶空间导数，但要求物质源具有更强的可微性。