[论文解读] Hamiltonian formulation of teleparallel theories of gravity in the time gauge

J. W. Maluf, A. A. Sousa|ArXiv.org|Feb 16, 2000

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文在时间规范下推导了广义扭积引力理论的哈密顿形式——二次于扭率——表明只有其中一参数子类能给出具有第一类约束的一致哈密顿量。通过要求牛顿极限，该理论唯一地简化为广义相对论的扭积等价形式（TEGR），确认其作为具有明确定义动力学与能量的引力哈密顿框架的可行性。

ABSTRACT

We consider the most general class of teleparallel theories of gravity quadratic in the torsion tensor, and carry out a detailed investigation of its Hamiltonian formulation in the time gauge. Such general class is given by a three-parameter family of theories. A consistent implementation of the Legendre transform reduces the original theory to a one-parameter theory determined in terms of first class constraints. The free parameter is fixed by requiring the Newtonian limit. The resulting theory is the teleparallel equivalent of general relativity.

研究动机与目标

• 推导最一般类别的扭积引力理论在时间规范下的哈密顿形式，该理论二次于扭率。
• 解决在更高参数族此类理论中出现的勒让德变换不一致问题。
• 识别出三参数族中唯一能产生一致第一类约束集的理论。
• 通过牛顿极限固定自由参数，确保物理一致性。
• 确认所得理论即为广义相对论的扭积等价形式（TEGR）。

提出的方法

• 作者从一个三参数族的扭积拉格朗日量出发，该拉格朗日量二次于扭率张量，由系数 $ c_1, c_2, c_3 $ 参数化。
• 他们在时间规范下进行正则分析，固定 $ e^a_0 = 0 $，从而简化约束结构。
• 他们对拉格朗日量执行勒让德变换，识别共轭动量并推导哈密顿密度。
• 他们分析约束代数，识别出约束为第一类的条件，以确保初始值问题的一致性。
• 他们施加牛顿极限以唯一固定剩余的自由参数，将三参数族简化为一参数理论。
• 他们验证所得理论与标准 $ -k(e/4)T^{abc}T_{abc} $ 形式的扭积等价广义相对论（TEGR）完全匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 三参数族扭积引力理论在何种条件下能产生具有第一类约束的一致哈密顿形式？
• RQ2 在高阶扭率项存在下，勒让德变换的行为如何？它施加了哪些约束？
• RQ3 何种物理标准能唯一地从三参数族的二次扭率理论中选出一种理论？
• RQ4 所得理论是否能正确再现牛顿极限与ADM能量？
• RQ5 在该类理论中，广义相对论的扭积等价形式是否为唯一可行的理论？

主要发现

• 勒让德变换将原始的三参数族扭积引力理论简化为具有第一类约束的一参数族，确保了哈密顿动力学的一致性。
• 仅当参数满足 $ c_1 = 2c_3 $ 且 $ c_2 = -c_3 $ 时，约束代数才闭合，这是确保初始值问题明确定义的必要条件。
• 通过施加牛顿极限，唯一地固定了剩余的自由参数，选择出广义相对论的扭积等价形式（TEGR）作为唯一可行的理论。
• 所得哈密顿密度与标准TEGR形式一致：$ ilde{H} = -k(e/4)T^{abc}T_{abc} $，其中 $ k = 1/(16\tau G) $。
• 渐近条件 $ e_{(i)j} \approx \eta_{ij} + \frac{1}{2}h_{ij}/r $ 确保了从标量密度 $ \partial_i(eT^i) $ 中正确提取ADM能量。
• 该理论需要参考空间三重纽（其中 $ T_{(i)jk} = 0 $）以明确地定义引力能量，从而证实该条件在TEGR中的必要性。