[论文解读] Hamiltonian gauge theory with corners: constraint reduction and flux superselection

Aldo Riello, Michele Schiavina|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文为具有角的时空上的规范场论构建了一个哈密顿框架，引入了两阶段约化：首先，通过约束规范群的动量图进行约束约化；其次，通过剩余通量规范群进行通量量子数选择。关键结果是约化后的相空间是一个纤维化于通量量子数选择分支的偏泊松流形，为量子量子数选择规则提供了经典类比。

ABSTRACT

We study gauge theories on spacetime manifolds with a codimension-$1$ submanifold with boundary. We characterise the reduced phase space of the theory whenever it is described by a local momentum map for the action of the gauge group $\mathcal{G}$, by means of Fréchet reduction by stages. The momentum map decomposes into a bulk term called constraint map, defining a coisotropic constraint set, and a boundary term called flux map. In the first stage, constraint reduction, the constraint set is the zero of a momentum map for a normal subgroup $\mathcal{G}_\circ\subset\mathcal{G}$, called constraint gauge group. In the second stage, flux superselection, the flux map is the momentum map for the residual action of the flux gauge group $\underline{\mathcal{G}}\doteq\mathcal{G}/\mathcal{G}_\circ$, which also controls equivariance. The reduced phase space of the theory, when smooth, is then only a partial Poisson manifold $\underline{\underline{\mathcal{C}}}\simeq \underline{\mathcal{C}}/\underline{\mathcal{G}}$. Its symplectic leaves are called \emph{flux superselection sectors}, for they provide a classical analogue of, and a road map to, the phenomenon of quantum superselection. To corners, we further assign a symplectic Lie algebroid over a Poisson manifold, $\mathsf{A}_{\partial} o \mathcal{P}_{\partial}$, and show how on-shell configurations $\mathcal{C}_{\partial}\subset\mathcal{P}_{\partial}$ are also Poisson. Both $\mathcal{C}_{\partial}$ and $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ fibrate over a common space of superselections, labeling the Casimirs of both Poisson structures. We showcase the formalism by explicitly working out the first and second stage reductions for a broad class of Yang--Mills theories, where $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ is found to be a Weinstein space, and discuss further applications to topological theories.

研究动机与目标

• 使用辛约化技术在具有余维1边界（角）的时空上形式化哈密顿规范场论。
• 当规范群通过局部动量图作用时，表征约化相空间的结构，特别是在存在边界的情况下。
• 将通量量子数选择分支识别为约化相空间的辛叶，其源于剩余规范群的动量图。
• 在角流形上构造一个自然的辛李代数胚，并将其与诺特定荷代数联系起来。
• 在杨-米尔斯理论中展示该形式化，并将其推广至如陈-西蒙斯和BF理论等拓扑场论。

提出的方法

• 将弗雷歇约化阶段法推广至无限维规范群，将动量图分解为体（约束）和边界（通量）两部分。
• 将约束规范群定义为约束映射的核，将通量规范群定义为全规范群对约束子群的商。
• 利用弱等变性与上循环条件，控制通量规范群对约化相空间的作用。
• 在非壳角数据流形上构造泊松结构，将其辛叶识别为通量量子数选择分支。
• 将该形式化应用于杨-米尔斯理论，表明在阿贝尔情况下第二阶段约化产生威恩斯坦空间。
• 建立约化相空间与角数据流形对同一组超选择标签空间的纤维化结构，识别两个泊松结构的卡西米尔元。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用辛约化在具有角的时空上一致地形式化哈密顿规范场论？
• RQ2 约束映射与通量映射在具有边界的规范场论动量图分解中起什么作用？
• RQ3 在约束约化后，通量量子数选择分支如何从剩余规范对称性中涌现？
• RQ4 角数据流形的几何结构是什么？它与诺特定荷代数有何关联？
• RQ5 该形式化如何应用于杨-米尔斯、陈-西蒙斯和BF理论等具体理论？

主要发现

• 该理论的约化相空间是一个偏泊松流形，记为 $\underline{\underline{\mathcal{C}}} = \mathcal{C}/\mathcal{G} \simeq \underline{\mathcal{C}}/\underline{\mathcal{G}}$，其辛叶由通量超选择分支标记。
• 通量超选择分支源于剩余通量规范群 $\underline{\mathcal{G}} = \mathcal{G}/\mathcal{G}_{\circ}$ 的动量图，且与角泊松结构的卡西米尔元一一对应。
• 在杨-米尔斯理论中，第二阶段约化在阿贝尔情况下产生威恩斯坦空间，表明约化相空间具有良好的行为。
• 角流形 $\mathcal{P}_{\partial}$ 拥有一个自然的偏泊松结构，其在壳子流形 $\mathcal{C}_{\partial}$ 是泊松的，可解释为诺特定荷代数。
• 该形式化识别出一个共同的超选择标签空间，使得 $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ 与 $\mathcal{C}_{\partial}$ 均纤维化于其上，统一了经典超选择结构。
• 证明了法德耶夫-波波夫算子 $\Delta_{A_0A}$ 在每个连接 $A_0$ 的邻域内可逆，从而在角存在的情况下实现了局部库仑规范固定与霍奇型分解。