[论文解读] Hamiltonian inclusions with convex dissipation with a view towards applications

Marius Buliga|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文提出了一种适用于具有凸耗散的动态系统的广义哈密顿形式，通过引入次微分包含来建模能量耗散，将经典力学扩展至包含不可逆过程的建模。核心贡献是一个统一的框架，可在极限情况下恢复米埃尔克的准静态率无关过程，并通过阿姆布罗西奥-托雷利型能量和1-齐次耗散，实现一类新的动态脆性损伤模型，得到一个具有有限最大损伤传播速度 $\gamma\sqrt{1+c^2}$ 的微分包含。

ABSTRACT

We propose a generalization of hamiltonian mechanics, as a hamiltonian inclusion with convex dissipation function. We obtain a dynamical version of the approach of Mielke to quasistatic rate-independent processes. Then we show that a class of models of dynamical brittle damage can be formulated in this setting.

研究动机与目标

• 通过次微分包含引入凸耗散，推广哈密顿力学，实现对不可逆过程的能量一致建模。
• 在动态背景下重新表述米埃尔克的准静态率无关过程，弥合静态与动态损伤力学之间的鸿沟。
• 基于阿姆布罗西奥-托雷利型能量泛函和1-齐次耗散，发展一类新的动态脆性损伤模型。
• 推导损伤演化的微分包含，捕捉非光滑、率无关的损伤传播，并具有有限的最大传播速度。

提出的方法

• 将广义哈密顿系统表述为次微分包含：$ J\dot{z} - D_z H(t,z) \in \partial_{\dot{z}} \mathcal{R}(z,\dot{z}) $，其中 $ \mathcal{R} $ 为凸耗散函数。
• 采用哈密顿函数 $ H(t,q,p) = T(p) + \mathcal{E}(t,q) $，其中 $ T $ 为动能的Fenchel共轭，利用1-齐次耗散函数以建模率无关行为。
• 将该形式应用于连续介质力学框架，包含位移 $ \mathbf{u} $、动量 $ \mathbf{p} $、损伤 $ d $ 和损伤驱动变量 $ y $，其演化由耦合方程控制。
• 推导动量平衡方程 $ \text{div}(\phi(d)\mathbf{S}) + \mathbf{f}(t) = \dot{\mathbf{p}} $ 和通过 $ \dot{d} = b y $ 表示的损伤演化，其中 $ y $ 受次微分不等式控制。
• 将次微分不等式替换为等价的微分包含：$ -\left(\ddot{d} + \gamma^2 d + \gamma c \phi'(d) w(\nabla\mathbf{u}) - \gamma^2 c^2 \Delta d\right) \in \gamma c \, S(\dot{d}) $，其中 $ S $ 为凸函数的次微分。
• 证明系统存在满足能量平衡和运动相容性的解，且在 $ \partial\Omega $ 上对 $ y $ 和 $ d $ 施加边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将哈密顿形式推广至包含凸耗散函数，以建模不可逆、率无关的过程？
• RQ2 米埃尔克的准静态率无关过程能否作为具有耗散的动态哈密顿系统的惯性趋于零时的极限情况被恢复？
• RQ3 能否基于阿姆布罗西奥-托雷利型能量泛函和1-齐次耗散函数，构建一个动态脆性损伤模型？
• RQ4 此类模型中损伤的传播速度是多少？是否保持有限？
• RQ5 能否将辛积分器应用于该广义哈密顿系统，以实现稳定、能量守恒的数值离散化？

主要发现

• 所提出的带有凸耗散的哈密顿包含推广了经典哈密顿力学，并在惯性趋于零的极限下恢复了米埃尔克的准静态率无关过程。
• 脆性损伤模型基于阿姆布罗西奥-托雷利型能量泛函和1-齐次耗散函数构建，导致损伤演化的次微分包含。
• 损伤演化由 $ \dot{d} = b y $ 控制，其中 $ y $ 满足一个次微分不等式，进而导出微分包含 $ -\left(\ddot{d} + \gamma^2 d + \gamma c \phi'(d) w(\nabla\mathbf{u}) - \gamma^2 c^2 \Delta d\right) \in \gamma c \, S(\dot{d}) $。
• 系统表现出有限的最大损伤传播速度，其阶为 $ \gamma\sqrt{1 + c^2} $，该结果源于微分包含的结构及参数选择。
• 动量平衡方程 $ \text{div}(\phi(d)\mathbf{S}) + \mathbf{f}(t) = \dot{\mathbf{p}} $ 被恢复，其中应力 $ \mathbf{S} = Dw(\nabla\mathbf{u}) $，边界条件自然满足。
• 该形式允许辛离散化，表明在数值模拟中具有长期能量稳定性的潜力。