[论文解读] Hamiltonian loops on the symplectic blow up

Andrés Pedroza|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明了在辛流形上，一个哈密顿环路可以被提升到其单点辛爆破后的流形上的哈密顿环路。利用威恩斯坦的同态，证明了该提升后的环路在爆破后流形的哈密顿微分同胚群的基本群中具有无限阶，从而在辛拓扑中确立了一个非平凡的拓扑不变量。

ABSTRACT

We lift a Hamiltonian loop on a symplectic manifold to a Hamiltonian loop on the symplectic one-point blow up of a symplectic manifold. Then we use Weinstein's morphism to show that the lifted Hamiltonian loop has infinite order on the fundamental group of the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the blown up manifold.

研究动机与目标

• 研究哈密顿环路在辛爆破操作下的行为。
• 确定哈密顿微分同胚群的基本群结构在单点辛爆破下是否改变。
• 应用威恩斯坦同态以检测提升后环路中的非平凡拓扑。
• 确立提升后的环路在爆破后流形的哈密顿微分同胚群基本群中具有无限阶。

提出的方法

• 使用辛几何技巧，将原始辛流形上的给定哈密顿环路提升至其单点辛爆破流形。
• 构造一个在爆破后流形上保持环路哈密顿性质的提升。
• 应用威恩斯坦同态，即从哈密顿微分同胚群基本群到流形第一同调群的同态。
• 利用该同态分析提升后环路的像并推导其非平凡性。
• 证明该同态下的像非零，从而表明环路具有无限阶。
• 得出结论：爆破后流形的哈密顿微分同胚群基本群包含一个非挠元。

实验结果

研究问题

• RQ1 辛爆破操作是否保持或改变哈密顿微分同胚群的基本群结构？
• RQ2 原始流形上的哈密顿环路能否被提升为爆破后流形上的非同伦零环路？
• RQ3 提升后的哈密顿环路在爆破后流形的哈密顿微分同胚群基本群中的阶是什么？
• RQ4 威恩斯坦同态如何检测提升后环路中的非平凡拓扑？
• RQ5 提升后的环路在辛爆破的哈密顿微分同胚群基本群中是否具有无限阶？

主要发现

• 原始流形上的哈密顿环路可被提升为单点辛爆破流形上的哈密顿环路。
• 提升后的环路在爆破后流形的哈密顿微分同胚群基本群中是非同伦零的。
• 威恩斯坦同态将提升后的环路映射到第一同调群中的非零元素。
• 威恩斯坦同态下像的非零性意味着提升后的环路具有无限阶。
• 爆破后流形的哈密顿微分同胚群基本群包含一个非挠元。
• 该结果在爆破的辛拓扑中确立了一个非平凡的拓扑不变量。