[论文解读] Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds in complex space forms

Ildefonso Castro, Haizhong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过奇维球面和反德西特空间中的Legendrian子流形，利用Hopf纤维丛的提升与一参族构造，构建了复空间形式中新的哈密顿极小拉格朗日子流形——具体包括复欧几里得空间、复射影空间和复双曲空间。作者生成了显式的H-极小拉格朗日子浸入与嵌入，涵盖复欧几里得空间中的锥面，以及复射影与双曲空间中的极小拉格朗日子流形。

ABSTRACT

Using Legendrian immersions and, in particular, Legendre curves in odd dimensional spheres and anti De Sitter spaces, we provide a method of construction of new examples of Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces, including explicit one parameter families of embeddings of quotients of certain product manifolds. In addition, new examples of minimal Lagrangian submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces also appear. Making use of all of them, we get Hamiltonian-minimal and special Lagrangian cones in complex Euclidean space too.

研究动机与目标

• 在平行平均曲率之外，构造复射影与双曲空间中新的哈密顿极小拉格朗日子流形示例。
• 将H-极小拉格朗日子流形的分类推广至高维及非单连通商流形。
• 通过几何提升，生成复欧几里得空间中哈密顿极小与特殊拉格朗日子流形的锥面。
• 提供显式的一参族H-极小拉格朗日子流形嵌入，如 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$ 与 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$。
• 作为构造方法的副产品，恢复并扩展已知的极小拉格朗日子流形。

提出的方法

• 以单位球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 和反德西特空间 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 中的Legendrian浸入作为基础几何工具。
• 应用Hopf纤维丛 $\Pi: \mathbb{S}^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 与 $\Pi: \mathbb{H}_1^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathbb{H}^n$，将Legendrian子流形投影至复空间形式中。
• 通过涉及双曲函数与三角函数（如 $\sinh\rho$, $\cosh\rho$）及复指数函数的一参族映射，构造H-极小拉格朗日子流形浸入。
• 利用Weierstrass型表示法，通过 $\mathbb{H}_1^3$ 上ODE组的解，具体为 $\alpha_j' \bar{\alpha}_j = i \bar{\alpha}_1^{n_1+1} \bar{\alpha}_2^{n_2+1}$，生成构造中使用的曲线。
• 通过实积分显式参数化曲线的径向与角向分量，确保所得映射定义良好且光滑。
• 应用对称性条件（如 $\mathbb{Z}_2$-作用）从非单连通商流形中获得嵌入子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在复射影与双曲空间中构造出超越平行平均曲率的哈密顿极小拉格朗日子流形新族？
• RQ2 如何利用 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 与 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 中的Legendrian子流形，生成 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 与 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 中的H-极小拉格朗日子流形？
• RQ3 从 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$ 或 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$ 等商构造中，能产生哪些显式的一参族H-极小拉格朗日子流形嵌入？
• RQ4 能否从这些几何提升中构造出 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中的特殊拉格朗日子流形锥面？
• RQ5 在何种条件下，该构造产生极小拉格朗日子流形而非仅H-极小者？

主要发现

• 通过 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 中Legendrian子流形的投影，在 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 中构造了一族H-极小拉格朗日子流形浸入，显式给出了 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$（满足 $n_1 + n_2 + 1 = n$）的嵌入示例。
• 利用 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 中的Legendrian子流形，在 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 中构造了新的H-极小拉格朗日子流形浸入，包括 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$ 模 $\mathbb{Z}_2$ 作用的显式嵌入。
• 在 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 与 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 中构造的Legendrian子流形的链（links）给出了 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中的特殊拉格朗日子流形锥面，为复欧几里得空间提供了新示例。
• 当初始Legendrian子流形为C-极小时，该构造作为特例产生 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 与 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 中新的极小拉格朗日子流形。
• 通过 $\mathbb{H}_1^3$ 上ODE组的解，在 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 中获得了一族极小拉格朗日子流形嵌入，其显式参数化涉及 $x^2 + \sinh^2\varrho$ 与 $x^2 + \cosh^2\varrho$ 的有理函数积分。
• 该方法对任意 $n \geq 2$，在 $\mathbb{C}^{n+1}$、$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 与 $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 中生成了完整的H-极小拉格朗日子流形族，推广了低维情形下的已知示例。