[论文解读] Hamiltonian Simulation in the Interaction Picture

Guang Hao Low, Nathan Wiebe|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

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一句话总结

本文提出一种低空间开销的算法，通过截断的 Dyson 级数，在相互作用表象中应用，以在某些哈密顿量（包括对角占优和具有长程相互作用的哈伯模型）下实现更好的门复杂度。

ABSTRACT

We present a low-space overhead simulation algorithm based on the truncated Dyson series for time-dependent quantum dynamics. This algorithm is applied to simulating time-independent Hamiltonians by transitioning to the interaction picture, where some portions are made time-dependent. This can provide a favorable complexity trade-off as the algorithm scales exponentially better with derivatives of the time-dependent component than the original Hamiltonian. We show that this leads to an exponential improvement in gate complexity for simulating some classes of diagonally dominant Hamiltonian. Additionally we show that this can reduce the gate-complexity scaling for simulating $N$-site Hubbard models for time $t$ with arbitrary long-range interactions as well as reduce the cost of quantum chemistry simulations within a similar-sized plane-wave basis to $\widetilde{\mathcal{O}}(N^2t)$ from $\widetilde{\mathcal{O}}(N^{11/3}t)$. We also show a quadratic improvement in query complexity for simulating sparse time-dependent Hamiltonians, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 使用截断的 Dyson 级数建立并发展用于时间依赖量子动力学的低空间开销方法。
• 展示切换到相互作用表象如何为某些哈密顿量带来有利的复杂性权衡。
• 提供严格的分析和电路构造，提升舍曼表象方法在门和空间成本上的表现。
• 结合具有远程相互作用的哈伯模型和平面波电子结构，展示实际优势。
• 将框架扩展到稀疏、时间依赖哈密顿量并讨论复杂性理论含义。

提出的方法

• 开发基于截断 Dyson 级数的通用时间依赖仿真算法，用于 H(s) 的谱范数为 alpha、平均变化率为 ⟨||Ḣ||⟩ 的情形。
• 按照标准形式输入模型，使用区块编码 oracle HAM 和 HAM-T 对哈密顿量进行编码。
• 分析截断和离散化误差，以在时间依赖情形下给出成本 O(alpha t log(alpha t/ε)/log log(alpha t/ε)) 的查询次数。
• 将截断 Dyson 级数应用于相互作用表象，其中 H = A + B，H_I(t) = e^{iAt}Be^{-iAt}，使模拟成本在 ||B|| 而非 ||A|| 上呈现有利的尺度。
• 推导长时间演化的多段策略，给出显式的门、量子比特与查询复杂度。
• 给出对稀疏时间依赖哈密顿量和对角占优情形（包括具有远程相互作用的哈伯模型和平面波电子结构）的复杂性改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对时间依赖哈密顿量的 Dyson 级数进行严格分析，以在量子电路中实现可控误差？
• RQ2 在相互作用表象与舍曼表象下对特定哈密顿量结构进行仿真时，门和空间复杂度成本是多少？
• RQ3 相互作用表象是否能降低对大 A 范数项的依赖，并按较小的 B 范数在 A+B 上放大效率？
• RQ4 在远程相互作用的哈伯模型和平面波电子结构方面，该方法对门数有什么影响？
• RQ5 该方法如何扩展到稀疏时间依赖哈密顿量，所得到的复杂性改进是什么？

主要发现

• 对于时间依赖哈密顿量，基于 Dyson 级数的仿真实现成本为 O(alpha t log(alpha t/ε)/log log(alpha t/ε)) 的查询数，且相较于以前的方法具有更低的量子比特开销。
• 在相互作用表象中仿真可以在某些对角占优的哈密顿量上实现门复杂度的指数级改进，尺度依赖于 ||B|| 而非 ||A||。
• 应用于具有远程相互作用的 N 站点哈伯模型时，该方法的门复杂度达到 ~ Õ(N^2 t)，相对于先前的 Õ(N^{11/3} t) 的标度，几乎实现二次改进。
• 在平面波基底的电子结构情境中，该方法将仿真缩减至 ~ Õ(N^2 t) 门数，接近二次级改进。
• 在标准查询模型下，对稀疏时间依赖哈密顿量的查询复杂度也实现了二次改进。
• 该框架提供严格界限和显式电路构造，包括用于长时间演化的多段策略。