[论文解读] Hamiltonian spaces for Manin pairs over manifolds

David Iglesias Ponte, Ping Xu|ArXiv.org|Sep 24, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过柯朗代数中的广义狄拉克结构，引入了流形上马宁对的哈密顿空间，统一了李群、泊松-李群和拟泊松空间的矩映射理论。关键贡献在于建立了拟李双胚代数与相应马宁对的哈密顿空间之间的一一对应关系，从而实现了通过狄拉克结构对拟哈密顿和泊松约化进行统一框架描述。

ABSTRACT

We introduce the notion of Hamiltonian spaces for Manin pairs over manifolds, using the so-called generalized Dirac structures. As an example, we describe Hamiltonian spaces of a quasi-Lie bialgebroid using this general framework. We also discuss reduction of Hamiltonian spaces of this general type.

研究动机与目标

• 通过流形上的马宁对，将李群、泊松-李群和拟泊松空间的矩映射理论统一到一个单一框架中。
• 通过积柯朗代数 D×(TX⊕T*X) 中的广义狄拉克结构，定义流形 S 上的马宁对的哈密顿空间。
• 建立拟李双胚代数与相应马宁对的哈密顿空间之间的对应关系。
• 利用狄拉克结构提供一种哈密顿空间的几何约化程序，从而在商空间上恢复泊松结构。

提出的方法

• 利用柯朗代数 D→S 和狄拉克结构 A→S，通过 D×(TX⊕T*X) 中的广义狄拉克结构 F→graph(J) 定义哈密顿空间。
• 应用广义狄拉克结构的概念，将可积性条件弱化，以允许基空间 S 的子流形。
• 从李代数胚 A 对矩映射 J:X→S 的作用出发，构造流形 X 上的狄拉克结构 F(A)。
• 依赖于拟李双胚代数与柯朗代数 A⊕A*→S 之间的对应关系，其中各向同性补空间 B 生成马宁拟三元组。
• 应用标准狄拉克约化，构造商空间 X/∼ 上的泊松结构，其中 ∼ 是由特征分布定义的等价关系。
• 利用柯朗代数同构 TX⊕T*X→TX⊕T*X，其中 (v,α)↦(Π♯(α)+v,α)，将狄拉克结构与泊松几何联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一几何框架下统一李群、泊松-李群和拟泊松空间的矩映射理论？
• RQ2 当矩映射的目标是流形上的齐性空间 D/G 而非一点时，哈密顿空间的正确推广是什么？
• RQ3 柯朗代数中的广义狄拉克结构如何与流形上马宁对的哈密顿作用和约化相关联？
• RQ4 拟李双胚代数的哈密顿空间与相应马宁对的哈密顿空间之间的确切对应关系是什么？

主要发现

• 流形 S 上马宁对 (D,A) 的哈密顿空间通过积柯朗代数 D×(TX⊕T*X) 中的广义狄拉克结构 F→graph(J) 定义。
• 该构造诱导了 A 对矩映射 J:X→S 的李代数胚作用，以及 X 上的狄拉克结构 F(A)，从而实现标准狄拉克约化。
• 拟李双胚代数与相应马宁对 (D×S, A×S) 的哈密顿空间之间存在一一对应关系。
• 马宁拟三元组 (d,g,h) 的拟哈密顿空间等价于马宁对 (d×S, g×S) 的哈密顿空间，约化空间上的泊松结构由 Π_X 的限制给出。
• 当各向同性补空间 B 可积（即为狄拉克结构）时，该框架恢复标准泊松几何，且约化空间继承自 Π_X 的泊松结构。