[论文解读] Hamiltonian symmetries and reduction in generalized geometry

Shengda Hu|ArXiv.org|Sep 5, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 50被引用 36

一句话总结

本文将哈密顿对称性和约化从辛几何推广至带有闭3-形式扭变 $H$ 的广义复几何。定义了 $H$-扭变哈密顿对称性和作用，构建了广义复约化，并表明此类约化中的拓扑变化与扭变类变化内在相关，将辛约化推广至扭变 Courant 超代数框架。

ABSTRACT

A closed 3-form $H \in Ω^3_0(M)$ defines an extension of $Γ(TM)$ by $Ω^2_0(M)$. This fact leads to the definition of the group of $H$-twisted Hamiltonian symmetries $\Ham(M, \JJ; H)$ as well as Hamiltonian action of Lie group and moment map in the category of (twisted) generalized complex manifold. The Hamiltonian reduction in the category of generalized complex geometry is then constructed. The definitions and constructions are natural extensions of the corresponding ones in the symplectic geometry. We describe cutting in generalized complex geometry to show that it's a general phenomenon in generalized geometry that topology change is often accompanied by twisting (class) change.

研究动机与目标

• 将哈密顿对称性和群作用的概念推广至 $H$-扭变广义复流形。
• 构建类似于辛约化的广义复约化程序。
• 证明约化中的拓扑变化伴随着扭变类 $[H]$ 的变化，这是广义几何的一个关键特征。
• 证明约化空间即使在 $H$ 不下拉至该空间时，也继承自然的扩展复结构。
• 证明广义卡勒-尤拉结构在约化下保持不变，并且对环面作用存在杜伊斯特马特-赫克曼公式。

提出的方法

• 以闭3-形式 $H \in \Omega^3_0(M)$ 为基，使用 $\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 上的 $H$-扭变 Courant 超代数结构作为基础几何框架。
• 通过2-上循环 $\alpha_H(X,Y) = d(\iota_Y \iota_X H)$，将 $H$-扭变广义对称性李代数 $\mathscr{X}_H$ 定义为 $\Gamma(TM)$ 对 $\Omega^2_0(M)$ 的非平凡扩张。
• 对 $f \in C^\infty(M)$，定义广义哈密顿向量场 $\mathfrak{X}_f = \mathbb{J}(df)$，其在 $\mathrm{Ham}(M,\mathbb{J};H)$ 中生成时间1对称性。
• 通过矩映射 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$ 构建约化，假设0是正则值且作用在 $\mu^{-1}(0)$ 上自由，从而得到约化空间 $Q = \mu^{-1}(0)/G$。
• 证明约化空间 $Q$ 携带自然的扩展复结构，其诱导的 Courant 超代数结构是精确的，但除非该作用通过 $\mathrm{Diff}(M)$ 因子分解，否则不与 $\mathbb{T}Q$ 具有自然同构。
• 通过包含映射 $\psi_H: \mathscr{X}_H \hookrightarrow \mathscr{X} = \Gamma(TM) \oplus \Omega^2(M)$，定义为 $(X,A) \mapsto (X, A - \iota_X H)$，将广义向量场积分至对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $H$-扭变广义复几何背景下，如何定义哈密顿对称性和作用？
• RQ2 广义复约化是否保持广义复结构？若保持，其条件为何？
• RQ3 扭变类 $[H]$ 在约化下的行为如何？当拓扑变化时，该类是否改变？
• RQ4 该约化程序能否应用于广义卡勒-尤拉流形？是否保持卡勒-尤拉条件？
• RQ5 在环面作用情况下，是否存在关于扭变类的杜伊斯特马特-赫克曼型公式？

主要发现

• 哈密顿对称群 $\mathrm{Ham}(M,\mathbb{J};H)$ 是保持广义复结构 $\mathbb{J}$ 的 $H$-扭变广义对称性的子群。
• 通过紧致李群 $G$ 且具有适当矩映射的 $H$-扭变广义复流形 $M$ 约化后，得到的约化空间 $Q$ 携带自然的扩展复结构。
• 扭变形式 $H$ 无需下拉至约化空间 $Q$，且约化结构的 $\check{\imath}$-类与联络形式或不变 $B$-场的选择无关。
• 广义卡勒-尤拉流形的约化仍为广义卡勒-尤拉流形，其典范全纯体积形式在规范变换下保持不变。
• 对于环面作用，约化结构的扭变类在矩映射像的每个正则分支中满足杜伊斯特马特-赫克曼型公式。
• 广义几何中的切割构造表明，拓扑变化总是伴随着扭变类的变化，从而确认了该理论中的一般现象。