[论文解读] Hamiltonian vector fields of homogeneous polynomials in two variables

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 3被引用 6

一句话总结

该论文证明了：对于由两个变量的齐次多项式定义的哈密顿向量场，若该多项式无重质因数（即满足性质（*）），则任意与恒等映射同伦的光滑微分同胚，只要保持向量场的轨道不变，均可表示为沿该向量场流的光滑时间平移，其时间函数为光滑实值函数。关键结果为 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$，表明在恒等分支中，保持轨道的微分同胚恰好是由沿流的光滑位移生成的。

ABSTRACT

Let $g:\mathbb{R}^2 o\mathbb{R}$ be a homogeneous polynomial of degree $p>1$, $G=(-g'_{y}, g'_{x})$ be its Hamiltonian vector field, and $G_t$ be the local flow generated by $G$. Denote by $E(G,O)$ the space of germs of $C^{\infty}$ diffeomorphisms $(\mathbb{R}^2,O) o(\mathbb{R}^2,O)$ that preserve orbits of $G$. Let also $E_{\mathrm{id}}(G,O)$ be the identity component of $E(G,O)$ with respect to $C^1$-topology. Suppose that $g$ has no multiple prime factors. Then we prove that for every $h\in E_{\mathrm{id}}(G,O)$ there exists a germ of a smooth function $α:\mathbb{R}^2 o\mathbb{R}$ at $O$ such that $h(z)=G_{α(z)}(z)$.

研究动机与目标

• 刻画与两个变量的齐次多项式相关的哈密顿向量场的轨道保持光滑微分同胚芽群的恒等分支。
• 确定此类微分同胚作为向量场流的时间平移映射出现的条件。
• 建立保持轨道的微分同胚与沿流的光滑位移之间的结构对应关系，尤其在多项式无重质因数时。

提出的方法

• 对次数 $\geq 2$ 的齐次多项式 $g$，定义哈密顿向量场 $G = (-g_y, g_x)$。
• 引入空间 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O)$，即与恒等映射同伦且保持 $G$ 轨道的 $C^\infty$ 微分同胚芽的集合。
• 定义集合 $\mathrm{Sh}(G,O)$ 为通过光滑函数 $\alpha(z)$ 与流 $\mathbf{G}_t$ 复合得到的微分同胚芽集合，即 $h(z) = \mathbf{G}_{\alpha(z)}(z)$。
• 利用局部坐标和哈达玛引理分析微分同胚下点之间的时间函数 $\psi$ 的正则性，证明其光滑且在边界处平坦。
• 证明映射 $\hat{h} \mapsto \psi$ 在 $C^{r+p,r}_{W,W}$-拓扑下连续，确保时间函数对微分同胚的光滑依赖性。
• 在多项式 $g$ 无重质因数（即满足性质（*））的条件下，建立等式 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，每个与恒等映射同伦的轨道保持微分同胚均可表示为哈密顿向量场流的光滑时间平移？
• RQ2 恒等分支的轨道保持微分同胚群能否被时间平移映射完全描述？
• RQ3 齐次多项式在质因数分解中无重因数在轨道保持微分同胚群结构中起何作用？
• RQ4 时间函数 $\psi$ 的光滑性与平坦性如何与微分同胚的正则性及向量场结构相关联？
• RQ5 哈密顿向量场的性质（*）在多大程度上确保轨道保持微分同胚由流生成？

主要发现

• 轨道保持微分同胚芽群的恒等分支 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O)$ 恰好等于 $\mathrm{Sh}(G,O)$，即沿 $G$ 流的光滑位移集合。
• 每个 $h \in \widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O)$ 均可表示为 $h(z) = \mathbf{G}_{\alpha(z)}(z)$，其中 $\alpha: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 为原点处的光滑芽函数。
• 当 $g$ 无重因数时，测量点间流时间的时间函数 $\psi$ 光滑且在边界处平坦。
• 映射 $\hat{h} \mapsto \psi$ 在 $C^{r+p,r}_{W,W}$-拓扑下连续，确保时间函数对微分同胚的光滑依赖性。
• 该结果推广了关于线性向量场的先前工作，并可用于计算具有孤立奇点的曲面上 Morse 函数稳定子的同伦型。
• 多项式 $g$ 无重质因数（即满足性质（*））是等式 $\widehat{\mathcal{E}}_{\mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$ 成立的充要条件。