[论文解读] Hamiltonians and Lagrangians of non-autonomous one-dimensional mechanical systems

G. F. Torres del Castillo, I. Rubalcava García|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Elasticity and Wave Propagation参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文提出了一种系统性方法，通过为从系统动力学导出的微分形式寻找积分因子，将任何由两个一阶常微分方程描述的非自治一维机械系统表达为哈密顿形式。关键贡献在于一种直接构造哈密顿量和正则变量的程序，恢复了已知结果，如拉格朗日存在性的赫尔姆霍茨条件，以及在自治情况下存在的无穷多组哈密顿量。

ABSTRACT

It is shown that a given non-autonomous system of two first-order ordinary differential equations can be expressed in Hamiltonian form. The derivation presented here allow us to obtain previously known results such as the infinite number of Hamiltonians in the autonomous case and the Helmholtz condition for the existence of a Lagrangian.

研究动机与目标

• 为表达非自治的两个一阶常微分方程系统提供一种通用且构造性的哈密顿形式方法。
• 建立哈密顿量存在性与从系统导出的微分形式可积性之间的直接联系。
• 在系统源自二阶方程的特殊情况下，恢复拉格朗日存在的赫尔姆霍茨条件。
• 证明即使拉格朗日形式不存在，哈密顿形式在非耦合或非保守系统中依然可能成立。
• 阐明时间依赖积分因子在构造正则动量和时间依赖哈密顿量中的作用。

提出的方法

• 将系统表述为一阶常微分方程对：$\dot{x} = f(x,y,t)$，$\dot{y} = g(x,y,t)$，将 $x$ 和 $y$ 视为动力学变量。
• 构造一个微分1-形式 $-(g - \phi)\,dx + (f - \psi)\,dy$，其中 $\phi$ 和 $\psi$ 表示正则变换的时间导数。
• 识别一个积分因子 $\sigma(x,y,t)$，使得该1-形式变为 $\sigma\,dH$，从而定义哈密顿量 $H$。
• 为简化变换，固定 $q = x$，由此得到 $\partial p / \partial y = 1/\sigma$，从而定义正则动量 $p$。
• 推导 $\sigma^{-1}$ 的演化方程，其形式为 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y \phi - \phi \partial_y \sigma^{-1}$，该方程控制哈密顿结构的一致性。
• 通过 $dH = -\sigma^{-1}(g - \phi)\,dx + \sigma^{-1}f\,dy + \partial_t H\,dt$ 恢复哈密顿量，其中 $p$ 和 $H$ 以 $\sigma$ 和系统函数表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个非自治的两个一阶常微分方程系统都可以表示为哈密顿形式？
• RQ2 积分因子 $\sigma$ 在构造哈密顿量和正则动量中起什么作用？
• RQ3 所推导的条件 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y \phi - \phi \partial_y \sigma^{-1}$ 如何与已知约束（如赫尔姆霍茨条件）相关联？
• RQ4 在什么条件下即使不存在拉格朗日形式，哈密顿形式依然存在？
• RQ5 该方法如何应用于非源自二阶方程的系统，如非耦合或非保守系统？

主要发现

• 只要能为关联微分形式找到积分因子 $\sigma$，任何非自治的两个一阶常微分方程系统都存在哈密顿形式。
• 正则动量 $p$ 由 $\partial p / \partial y = 1/\sigma$ 确定，哈密顿量 $H$ 通过 $dH = \sigma^{-1}(- (g - \phi) dx + f dy)$ 构造。
• 条件 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y \phi - \phi \partial_y \sigma^{-1}$ 确保了时间演化的自洽性，并推广了赫尔姆霍茨条件。
• 在二阶方程 $\ddot{x} = F(x, \dot{x}, t)$ 的情况下，该方法恢复了标准的赫尔姆霍茨条件 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y F$。
• 对于非耦合系统如 $\dot{x} = f(x,t)$，$\dot{y} = g(y,t)$，存在哈密顿量但勒让德变换失败，表明不存在拉格朗日形式。
• 哈密顿量 $H$ 不一定是总能量，可以是非二次型甚至对数型，如在相对论性阻尼例子中所示，$H = -x/m + \frac{1}{2(\lambda\alpha^2 - \gamma)} \ln\left|\frac{\lambda - \gamma y^2}{1 - \alpha^2 y^2}\right|$。