[论文解读] Hamiltonians for Two-Anyon Systems

Michele Correggi, Luca Oddis|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 3

一句话总结

本文通过构建闭合且下有界的二次型族，完整穷举了朴素薛定谔算符的所有自伴扩张，从而为磁规范下两个任意任何子系统建立了单参数的自伴哈密顿量族。关键贡献在于证明了这些二次型实现了对包含径向相互作用的两任意任何子系统所有物理实现的完整分类。

ABSTRACT

We study the well-posedness of the Hamiltonian of a system of two anyons in the magnetic gauge. We identify all the possible quadratic forms realizing such an operator for non-interacting anyons and prove their closedness and boundedness from below. We then show that the corresponding self-adjoint operators give rise to a one-parameter family of extensions of the naive two-anyon Schrödinger operator. We finally extend the results in presence of a two-body radial interaction.

研究动机与目标

• 在磁规范下，严格定义具有分数统计的两任意任何子系统的哈密顿量。
• 解决当阿哈罗诺夫-玻姆势在相对距离为零处引入奇点时哈密顿量的适定性问题。
• 对两任意任何子的朴素薛定谔算符的所有可能自伴扩张进行分类。
• 在势能满足适当正则性假设的前提下，将分类结果扩展至包含两体径向相互作用的情形。
• 为两任意任何子的动力学提供一个数学上严格的框架，特别是在分数量子霍尔效应的背景下。

提出的方法

• 构造一个单参数二次型族 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$，其为弗里德里奇斯扩张的推广，用于描述系统的能量。
• 证明每个二次型 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ 是闭合且下有界的，从而确保其对应唯一自伴算符的存在。
• 利用冯·诺依曼的自伴扩张理论，证明由 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ 导出的算符穷尽了对对称算符 $H_\alpha$ 的所有可能自伴扩张。
• 通过谱分析及含阿哈罗诺夫-玻姆势的薛定谔方程解的渐近行为，刻画算符的定义域。
• 引入一个广义本征函数 $G_\lambda$，其在原点具有特定渐近行为，用于参数化扩张的边界条件。
• 通过假设势能 $V$ 在原点附近有界，将分析扩展至相互作用情形，保持定义域结构与二次型的闭合性不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在磁规范下，具有阿哈罗诺夫-玻姆型奇点的两任意任何子哈密顿量的所有可能自伴扩张是什么？
• RQ2 如何构造一个单参数二次型族，使其对应的算符能实现所有此类自伴扩张？
• RQ3 弗里德里奇斯扩张在分类中起什么作用？其他扩张在物理上如何不同？
• RQ4 包含径向两体相互作用后，自伴扩张问题及二次型结构如何变化？
• RQ5 在何种条件下，相互作用势 $V$ 使得自伴扩张的分类依然有效，且二次型保持闭合与下有界？

主要发现

• 对所有 $\beta \in \mathbb{R}$，单参数二次型族 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ 均为闭合且下有界，从而保证了唯一自伴算符的存在。
• 由 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ 导出的自伴算符穷尽了对称算符 $H_\alpha$ 的所有可能自伴扩张，该结论通过冯·诺依曼理论得到证明。
• 当 $\beta < 0$ 时，哈密顿量 $H_{\alpha,\beta}$ 存在一个离散本征值 $-\bar{\lambda}^2$，其中 $\bar{\lambda}$ 满足方程 $\beta + \bar{\lambda}^{2\alpha} = 0$，对应一个束缚态。
• 每个扩张的定义域由 $r=0$ 处波函数的渐近行为与广义本征函数 $G_\lambda$ 所决定的边界条件刻画。
• 在相互作用情形下，当假设 $V \in L^\infty([0,\varepsilon))$ 时，二次型 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta,V}$ 仍保持闭合与下有界，且其对应的算符为 $H_{\alpha,V}$ 的自伴扩张。
• 在包含径向相互作用时，定义域结构与分类保持稳定，因为原点处的奇异性主要由阿哈罗诺夫-玻姆势主导，而非相互作用势。