[论文解读] Hamiltonicity is Hard in Thin or Polygonal Grid Graphs, but Easy in Thin Polygonal Grid Graphs

Erik D. Demaine, Mikhail Rudoy|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文证明了哈密顿性在正方形多边形网格图和六边形细网格图中是 NP-完全的，解决了 Arkin 等人（2007 年）提出的两个开放问题。此外，本文表明当一个网格图同时具有细和多边形特性时，哈密顿性变为多项式时间可解，通过将问题约化为度约束的顶点拆分问题，为正方形、三角形和六边形网格提供了新的可解情形。

ABSTRACT

In 2007, Arkin et al. initiated a systematic study of the complexity of the Hamiltonian cycle problem on square, triangular, or hexagonal grid graphs, restricted to polygonal, thin, superthin, degree-bounded, or solid grid graphs. They solved many combinations of these problems, proving them either polynomially solvable or NP-complete, but left three combinations open. In this paper, we prove two of these unsolved combinations to be NP-complete: Hamiltonicity of Square Polygonal Grid Graphs and Hamiltonicity of Hexagonal Thin Grid Graphs. We also consider a new restriction, where the grid graph is both thin and polygonal, and prove that Hamiltonicity then becomes polynomially solvable for square, triangular, and hexagonal grid graphs.

研究动机与目标

• 解决 Arkin 等人（2007 年）提出的关于受限网格图中哈密顿性复杂性的两个开放问题，具体针对正方形多边形网格图和六边形细网格图。
• 研究细网格图与多边形网格图交集情形下哈密顿性的复杂性。
• 确定固体正方形网格图中哈密顿性多项式时间可解性是否可推广至六边形固体网格图。
• 为几何与结构约束下哈密顿性何时仍为难解或变为可解提供统一理解。

提出的方法

• 通过从 3-CNF 可满足性问题约化，构造正方形多边形和六边形细网格图中的哈密顿回路，使用强制状态的变量和子句部件。
• 设计专门的变量和子句部件，以模拟逻辑变量和子句，其中两个强制导线对应于真值赋值。
• 通过约化至最大度为 3 的树残余顶点拆分问题，证明细多边形网格图中哈密顿性的多项式时间可解性，尤其适用于六边形网格。
• 使用回路合并技术与结构分析，验证约化的正确性及哈密顿回路扩展的封闭性。
• 形式化定义网格图类型：正方形、三角形和六边形；区分边界、内部、孔洞和像素面。
• 通过证明 3-CNF 公式的可满足性与构造出的网格图中哈密顿回路的存在性等价，建立保持答案的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 正方形多边形网格图中的哈密顿性是否为 NP-完全，这是 Arkin 等人（2007 年）未解决的问题？
• RQ2 六边形细网格图中的哈密顿性是否为 NP-完全，这是同一文献中另一个未解决的情形？
• RQ3 将细和多边形网格图的性质结合，是否在所有三种网格类型中均产生哈密顿性的多项式时间可解情形？
• RQ4 能否将固体正方形网格图中哈密顿性的多项式时间算法推广至六边形固体网格图，如 Arkin 等人所猜想？
• RQ5 哪些结构特性使得受限网格图类中的哈密顿回路检测变得高效或受阻？

主要发现

• 正方形多边形网格图中的哈密顿性为 NP-完全，解决了 Arkin 等人（2007 年）提出的开放问题。
• 六边形细网格图中的哈密顿性为 NP-完全，确认了此前未解决情形的困难性。
• 在所有三种网格类型（正方形、三角形和六边形）中，细多边形网格图的哈密顿性为多项式时间可解。
• 细多边形网格图中哈密顿性的多项式时间可解性通过约化至最大度为 3 的树残余顶点拆分问题实现，尤其适用于六边形网格。
• 从 3-CNF 到网格图的约化是保持答案的，并在多项式时间内完成，确立了两个新难解情形的 NP-完全性。
• 最后一个开放问题——六边形固体网格图中的哈密顿性——仍未解决，尽管作者推测其为多项式时间可解。