[论文解读] Hamiltonicity of the Cayley Digraph on the Symmetric Group Generated by {\sigma} = (1 2 ... n) and { au} = (1 2)

Aaron Williams|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文通过基于旋转等价性和旋转系统构造局部边规则，将问题简化为在 $n-1$ 个顶点上的轮图结构，成功解决了关于对称群 $S_n$ 的定向Cayley图中哈密顿圈存在的一个长期悬而未决的问题。该图由 $n$-循环 $\sigma = (1\;2\;\cdots\;n)$ 和对换 $\tau = (1\;2)$ 生成，对所有奇数 $n$ 构造出哈密顿圈，对所有 $n$ 构造出哈密顿路径。同时证明了在圈覆盖中 $\tau$-边的数量达到最小。

ABSTRACT

The symmetric group is generated by {\sigma} = (1 2 ... n) and { au} = (1 2). We answer an open problem of Nijenhuis and Wilf by constructing a Hamilton path in the directed Cayley graph for all n, and a Hamilton cycle for odd n.

研究动机与目标

• 解决Nijenhuis与Wilf提出的关于有向Cayley图 $\mathrm{cayley}(S_n, \{\sigma, \tau\})$ 的哈密顿性问题，其中 $\sigma = (1\;2\;\cdots\;n)$ 且 $\tau = (1\;2)$。
• 证明当 $n$ 为奇数时存在哈密顿圈，对所有 $n$ 存在哈密顿路径，尽管已知当 $n \geq 4$ 为偶数时哈密顿圈存在障碍。
• 提供一种简单、局部的规则来构造这些圈与路径，基于 $n$ 及其右邻元素的位置，利用旋转等价性与边选择规则。
• 最小化圈覆盖中 $\tau$-边的数量，证明 $C_1(n)$ 与 $C_2(n)$ 在所有此类圈与覆盖中使用了最少的 $\tau$-边。

提出的方法

• 通过局部规则定义 $C_1(n)$ 与 $C_2(n)$：对每个排列 $p$，根据 $n$ 的位置及其右侧元素，指定进入 $p$ 的边（$\tau$ 或 $\sigma^{-1}$）。
• 利用旋转系统建模圈的结构，特别关注形如 $\sigma^n$ 与 $(\tau\sigma^{-1})^{n-1}$ 的圈的对称差。
• 通过平滑辐条路径并分析旋转系统中的边序，将复杂的圈系统简化为 $n-1$ 个顶点上的轮图结构。
• 通过证明简化后的系统 $W_1(n)[U]$ 与 $(n-1)$-轮图的旋转系统一致，从而证明正确性，确保所有顶点恰好被覆盖一次。
• 利用旋转下的一致等价类概念，将缺少一个符号的排列与其循环表示联系起来。
• 通过比较原始系统与简化系统中顶点的循环顺序，验证最终系统中的边序，确保无边重复或遗漏。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向Cayley图 $\mathrm{cayley}(S_n, \{\sigma, \tau\})$ 是否对奇数 $n$ 存在哈密顿圈？
• RQ2 能否在该图中对所有 $n$（包括偶数 $n$）构造出哈密顿路径？
• RQ3 在该图中，哈密顿圈或大小为二的圈覆盖所需的最少 $\tau$-边数量是多少？
• RQ4 该构造能否通过基于 $n$ 及其后继在排列中位置的简单、局部规则表达？
• RQ5 所得圈覆盖的结构是否尽可能接近树状，从而最小化复杂度？

主要发现

• 对所有奇数 $n$，在 $G(n)$ 中存在哈密顿圈 $C_1(n)$，解决了Knuth评定为50分中48分难度的50年悬而未决问题。
• 对所有 $n$，存在哈密顿路径 $P(n)$，为偶数 $n$（此时哈密顿圈不可能存在）提供了完整解法。
• 对所有 $n$，存在大小为二的圈覆盖 $C_2(n)$，当 $n$ 为奇数时，该覆盖即为哈密顿圈。
• $C_1(n)$ 与 $C_2(n)$ 分别在所有哈密顿圈与大小为二的圈覆盖中使用了最少的 $\tau$-边。
• 圈 $\sigma^n$ 与 $(\tau\sigma^{-1})^{n-1}$ 的对称差简化为 $n-1$ 个顶点上的轮图结构，解释了该解法的拓扑简洁性。
• 最终的旋转系统 $W_1(n)[U]$ 同构于 $(n-1)$-轮图的旋转系统，确认了圈覆盖的正确性。