[论文解读] Hamiltonization of nonholonomic systems

А. В. Борисов, И. С. Мамаев|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2005

Control and Dynamics of Mobile Robots被引用 15

一句话总结

本文提出了一种广义方法，用于对非完整系统（特别是Chaplygin球和Veselova问题）进行哈密顿化，通过引入时间替换，使方程在存在不变测度时转化为哈密顿形式。主要贡献在于系统地推导出泊松括号与可积哈密顿系统之间的同构关系，将Chaplygin的约化乘子法推广至非零 $ b(q) $ 的广义Chaplygin系统，并确定了此类系统在时间重参数化后可实现哈密顿表示的条件。

ABSTRACT

We consider some issues of the representation in the Hamiltonian form of two problems of nonholonomic mechanics, namely, the Chaplygin's ball problem and the Veselova problem. We show that these systems can be written as generalized Chaplygin systems and can be integrated by the method of reducing multiplier. We also indicate the algebraic form of the Poisson brackets of these systems (after the time substitution). Generalizations of the problems are considered and new realizations of nonholonomic constraints are presented. Some nonholonomic systems with an invariant measure and a sufficient number of first integrals are indicated, for which the question of the representation in the Hamiltonian form is still open, even after the time substitution.

研究动机与目标

• 将Chaplygin的约化乘子法推广至非零 $ b(q) $ 的广义Chaplygin系统，实现哈密顿表示。
• 建立非完整系统在存在不变测度时，通过时间替换转化为哈密顿形式的条件。
• 为特定非完整问题推导显式的泊松结构及其与可积哈密顿系统的同构关系。
• 识别即使存在不变测度和足够的一阶积分，哈密顿化仍无法实现的开放情况。

提出的方法

• 广义Chaplygin系统由包含非完整约束 $ S = a_1\dot{q}_1 + a_2\dot{q}_2 + b(q) $ 的运动方程定义，其中 $ b(q) \neq 0 $。
• 应用时间替换 $ N(q)\,dt = d\tau $，将方程转化为新形式，其中 $ \bar{S} $ 被修改，但保持系统结构不变。
• 使用勒让德变换将拉格朗日方程转换为以广义动量 $ p_i = \partial \bar{L}/\partial q_i' $ 表示的哈密顿形式。
• 当存在密度为 $ \rho(q) $ 的不变测度时，可选择 $ N(q) = \rho(q) $，从而得到 $ \bar{S} = B(q) $，其仅依赖于坐标。
• 由此导出的泊松括号结构为 $ \{q_i, p_j\} = \delta_{ij} $，$ \{p_1, p_2\} = \bar{S}(q) $，$ \{q_1, q_2\} = 0 $，从而在时间重参数化后实现哈密顿形式。
• 该方法被应用于Chaplygin球与Veselova问题，确认其为广义Chaplygin系统，并推导出其泊松结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使 $ b(q) \neq 0 $，Chaplygin球问题是否可通过时间替换表示为哈密顿形式？
• RQ2 广义Chaplygin系统在存在不变测度时，通过时间重参数化转化为哈密顿系统的条件是什么？
• RQ3 非完整Jacobi问题（在二次曲面滚动）是否可哈密顿化，尽管存在混沌行为且缺乏明显的卡西米尔函数？
• RQ4 约化乘子法能否推广至 $ b(q) \neq 0 $ 的系统？其对泊松结构有何影响？
• RQ5 是否存在具有不变测度和足够一阶积分的非完整系统，即使经过时间替换，其哈密顿化仍不可能实现？

主要发现

• Chaplygin球问题与Veselova问题被证明为 $ b(q) \neq 0 $ 的广义Chaplygin系统，其方程可通过时间替换转化为哈密顿形式。
• 当存在密度为 $ \rho(q) $ 的不变测度时，选择 $ N(q) = \rho(q) $ 可确保 $ \bar{S} = B(q) $，从而导出依赖坐标的泊松括号结构。
• 所得泊松括号为 $ \{q_i, p_j\} = \delta_{ij} $，$ \{p_1, p_2\} = \bar{S}(q) $，$ \{q_1, q_2\} = 0 $，确认了时间重参数化后的哈密顿结构。
• 该方法成功推导出显式的泊松结构，并建立了所研究问题与已知可积哈密顿系统之间的同构关系。
• 非完整Jacobi问题（在三轴椭球面上滚动）仍为开放问题：尽管其具有不变测度和额外积分，但该方法无法实现哈密顿化，且未发现卡西米尔函数。
• 本文指出，哈密顿化的可能性在很大程度上取决于所寻求泊松括号的光滑性与代数结构，而对某些系统而言，这一问题仍未解决。