[论文解读] Handsaw quiver varieties and finite W-algebras

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文在手锯型奎iver概形（handsaw quiver varieties）——作为抛物线劳姆空间实现的——与A型有限W代数之间建立了一条几何桥梁，表明手锯型奎iver概形的C*-不动点集同构于A型的分次奎iver概形。这一同构使得通过交叠上同调对W代数的单模进行新的几何实现成为可能，从而给出了布伦丹-克列什切夫猜想（Brundan-Kleshchev conjecture）的新证明：该猜想将Verma模的合成因子重数表示为在1处取值的Kazhdan-Lusztig多项式。

ABSTRACT

Following Braverman-Finkelberg-Feigin-Rybnikov (arXiv:1008.3655), we study the convolution algebra of a handsaw quiver variety, a.k.a. a parabolic Laumon space, and a finite W-algebra of type A. This is a finite analog of the AGT conjecture on 4-dimensional supersymmetric Yang-Mills theory with surface operators. Our new observation is that the C^*-fixed point set of a handsaw quiver variety is isomorphic to a graded quiver variety of type A, which was introduced by the author in connection with the representation theory of a quantum affine algebra. As an application, simple modules of the W-algebra are described in terms of IC sheaves of graded quiver varieties of type A, which were known to be related to Kazhdan-Lusztig polynomials. This gives a new proof of a conjecture by Brundan-Kleshchev on composition multiplicities on Verma modules, which was proved by Losev, in a wider context, by a different method.

研究动机与目标

• 通过带有表面算符的AGT猜想的有限类比，建立手锯型奎iver概形与A型有限W代数之间的几何对应关系。
• 阐明手锯型奎iver概形的C*-不动点集的结构，证明其同构于A型分次奎iver概形。
• 应用关于分次奎iver概形的交叠上同调的已知结果，推导出有限W代数的Verma模中单模的合成因子重数公式。
• 通过交叠上同调与Kazhdan-Lusztig多项式，为布伦丹-克列什切夫猜想在Verma模中合成因子重数的表述提供新的几何证明。
• 为未来在有限W代数背景下，通过奎iver概形实现张量积与Miura变换的几何构造奠定基础。

提出的方法

• 通过基于从P¹到偏旗流形的映射的几何性质，以自包含的方式证明手锯型奎iver概形与抛物线劳姆空间之间的同构，从而将二者等同。
• 利用两者均为奎iver概形的C*-不动点集这一事实，证明手锯型奎iver概形的C*-不动点集同构于A型分次奎iver概形。
• 在两个手锯型奎iver概形的积中构造一个Hecke对应，通过卷积代数结构生成有限W代数。
• 在类似Steinberg的概形上定义卷积代数，并构造从有限W代数到该卷积代数的同态。
• 利用Gelfand-Tsetlin特征的几何实现，将卷积代数的标准模与有限W代数的Verma模对应起来。
• 利用分次奎iver概形的交叠上同调群计算合成因子重数，通过Arakawa的结果将其与Kazhdan-Lusztig多项式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 手锯型奎iver概形的C*-不动点集的结构是什么？它与A型分次奎iver概形有何关系？
• RQ2 如何利用手锯型奎iver概形的卷积代数实现A型有限W代数？
• RQ3 有限W代数的Verma模中单模的合成因子重数能否通过交叠上同调以几何方式表达？
• RQ4 C*-不动点集与分次奎iver概形之间的同构如何促成表示论猜想的新证明？
• RQ5 在1处取值的Kazhdan-Lusztig多项式与有限W代数的Verma模中合成因子重数之间的确切关系是什么？

主要发现

• 手锯型奎iver概形的C*-不动点集同构于A型分次奎iver概形，为两类重要的代数概形之间建立了几何桥梁。
• 有限W代数的Verma模M(P)中单模L(Q)的合成因子重数等于Kazhdan-Lusztig多项式P_{w_{LR}, x_{LR}}(1)，其中w_{LR}与x_{LR}是双陪集S_λ \backslash S_N / S_μ中长度最大的代表元。
• 该结果为布伦丹-克列什切夫猜想在Verma模中合成因子重数的表述提供了新的几何证明，该猜想此前由Losev通过不同方法证明。
• 分次奎iver概形的交叠上同调群计算了合成因子重数，且这些群已知控制量子仿射代数与Yangian的表示。
• C*-不动点集与分次奎iver概形之间的同构使得量子群表示论中的已知结果可被转移到有限W代数的语境中。
• 该构造在几何表示论的精神下，为标准模的Gelfand-Tsetlin特征提供了几何解释，扩展了早期关于q-特征的工作。