[论文解读] Hankel determinant for a class of analytic functions

Milutin Obradović, Nikola Tuneski|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 1被引用 12

一句话总结

本文建立了单位圆内满足参数条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ 的解析函数 $ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots $ 的第二 Hankel 行列式 $ |H_2(2)| = |a_2a_4 - a_3^2| $ 的精确上界。其中 $ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $ 且 $ 0 < \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $。该上界为 $ \left(\frac{2\gamma}{2 - \alpha}\right)^2 $，且由一个特定的极值函数实现。

ABSTRACT

Let $f$ be analutic in the unit disk $\mathbb D$ and normalized so that $f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots$. In this paper we give sharp bound of Hankel determinant of the second order for the class of analytic unctions satisfying \[ \left|\arg \left[\left(\frac{z}{f(z)} ight)^{1+α}f'(z) ight] ight|

研究动机与目标

• 确定单位圆内一类解析函数的第二 Hankel 行列式 $ |H_2(2)| = |a_2a_4 - a_3^2| $ 的精确上界。
• 分析满足参数条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ 的函数，其中 $ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $ 且 $ 0 < \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $。
• 通过引入一种基于广义参数条件的新函数类，拓展已知的单芽与星形函数子类的 Hankel 行列式结果。
• 通过显式极值函数证明所导出上界的精确性。

提出的方法

• 通过次纯化将条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ 表示为 $ \left(\frac{1 + \omega(z)}{1 - \omega(z)}\right)^\gamma $，其中 $ \omega $ 为满足 $ \omega(0) = 0 $ 的 Schwarz 函数。
• 将次纯化关系的两边展开为幂级数，并通过比较 $ z $、$ z^2 $ 和 $ z^3 $ 的系数，将 $ a_2 $、$ a_3 $、$ a_4 $ 用 $ \omega(z) = c_1z + c_2z^2 + c_3z^3 + \cdots $ 的系数 $ c_1 $、$ c_2 $、$ c_3 $ 表示。
• 推导 $ H_2(2) = a_2a_4 - a_3^2 $ 关于 $ c_1 $、$ c_2 $、$ c_3 $ 的表达式，其中包含依赖于 $ \alpha $ 和 $ \gamma $ 的系数 $ \mu $ 和 $ \nu $。
• 应用 Schwarz 函数的已知系数界：$ |c_1| \leq 1 $，$ |c_2| \leq 1 - |c_1|^2 $，以及 $ |c_3| \leq 1 - |c_1|^2 - \frac{|c_2|^2}{1 + |c_1|} $，并假设 $ a_2 \geq 0 $，即 $ c_1 \geq 0 $。
• 在约束条件下最大化 $ |H_2(2)| $ 的表达式，利用恒等式 $ \frac{(1-\alpha)(3-\alpha)}{(2-\alpha)^2} \geq \frac{c_1}{1 + c_1} $ 对于 $ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $，以简化上界。
• 证明不等式 $ \frac{(1-\alpha)(3-\alpha)}{(2-\alpha)^2} > \left|\frac{1}{3} - \nu_1\right| $ 在给定参数范围内成立，确保上界表达式的最大值在推导的上界处取得。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足参数条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ 的解析函数，第二 Hankel 行列式 $ |H_2(2)| = |a_2a_4 - a_3^2| $ 的精确上界是什么？
• RQ2 该上界如何依赖于参数 $ \alpha \in (0, 2 - \sqrt{2}) $ 和 $ \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $？
• RQ3 所导出的上界是否精确？若是，哪一个函数实现了等号？
• RQ4 系数估计 $ a_2 $、$ a_3 $、$ a_4 $ 能否显式表示为 Schwarz 函数系数 $ c_1 $、$ c_2 $、$ c_3 $ 的函数？
• RQ5 在何种 $ \alpha $ 和 $ \gamma $ 条件下，上界表达式简化为 $ \left(\frac{2\gamma}{2 - \alpha}\right)^2 $？

主要发现

• 对于 $ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $ 且 $ 0 < \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $，第二 Hankel 行列式的精确上界为 $ |H_2(2)| \leq \left(\frac{2\gamma}{2 - \alpha}\right)^2 $。
• 该上界由函数 $ f_2(z) $ 实现，其满足 $ \left(\frac{z}{f_2(z)}\right)^{1+\alpha}f_2'(z) = \left(\frac{1 + z^2}{1 - z^2}\right)^\gamma $，此时 $ a_2 = a_4 = 0 $，$ a_3 = \frac{2\gamma}{2 - \alpha} $，且 $ H_2(2) = -\frac{4\gamma^2}{(2 - \alpha)^2} $。
• 系数表达式为：$ a_2 = \frac{2\gamma}{1 - \alpha}c_1 $，$ a_3 = \frac{2\gamma}{2 - \alpha}c_2 + \frac{2(3 - \alpha)\gamma^2}{(1 - \alpha)^2(2 - \alpha)}c_1^2 $，$ a_4 = \frac{2\gamma}{3 - \alpha}\left(c_3 + \mu c_1 c_2 + \nu c_1^3\right) $，其中 $ \mu $ 和 $ \nu $ 依赖于 $ \alpha $ 和 $ \gamma $。
• 证明依赖于利用 Schwarz 函数的系数约束对 $ |H_2(2)| $ 表达式进行控制，并表明最大值在 $ c_1 = 0 $、$ c_2 = 1 $、$ c_3 = 0 $ 时取得，与极值函数一致。
• 在给定参数范围内，不等式 $ \frac{(1-\alpha)(3-\alpha)}{(2-\alpha)^2} > \left|\frac{1}{3} - \nu_1\right| $ 成立，确保所导出的上界是紧的。
• 本结果通过引入一个基于广义参数条件的新型函数类，拓展了关于星形与强星形函数 Hankel 行列式的先前工作，其中涉及参数 $ \alpha $ 和 $ \gamma $。