[论文解读] Hankel Determinants of sequences related to Bernoulli and Euler Polynomials

Karl Dilcher, Lin Jiu|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文利用正交多项式及其导数之间的联系，评估了与伯努利和欧拉多项式相关的序列的海格尔行列式。推导出新的封闭形式表达式，包括 $ H_{2m+1}(kE_{k-1}) = (-1)^{m+1}2^{4m(m+1)}\prod_{\ell=1}^{m}\ell!^8 $，并系统整理了涉及伯努利数和欧拉数及其特殊值的已知与新发现的恒等式。

ABSTRACT

We evaluate the Hankel determinants of various sequences related to Bernoulli and Euler numbers and special values of the corresponding polynomials. Some of these results arise as special cases of Hankel determinants of certain sums and differences of Bernoulli and Euler polynomials, while others are consequences of a method that uses the derivatives of Bernoulli and Euler polynomials. We also obtain Hankel determinants for sequences of sums and differences of powers and for generalized Bernoulli polynomials belonging to certain Dirichlet characters with small conductors. Finally, we collect and organize Hankel determinant identities for numerous sequences, both new and known, containing Bernoulli and Euler numbers and polynomials.

研究动机与目标

• 推导与伯努利和欧拉多项式相关的序列的海格尔行列式的新型封闭形式表达式。
• 通过基于伯努利和欧拉多项式导数的方法，扩展已知结果。
• 统一并组织涉及伯努利数和欧拉数及其特殊值的现有与新发现的海格尔行列式恒等式。
• 探讨在特殊数列背景下，海格尔行列式、正交多项式与连分数之间的联系。
• 为广义序列（包括与狄利克雷特征相关的序列及高阶欧拉数）提供系统化的评估。

提出的方法

• 利用伯努利和欧拉多项式的生成函数作为序列构造的基础工具。
• 应用基于导数的方法，将海格尔行列式问题转化为可管理的代数形式。
• 通过与经典正交多项式及连分数的联系，评估海格尔行列式。
• 使用符号记号，如 $ \mathcal{B}^j $，表示广义恒等式中的伯努利数。
• 应用先前研究中的已知结果（例如，[6]、[8]、[9]），通过代数运算和代换推导新恒等式。
• 应用伯努利和欧拉多项式的反射与对称性质，以简化行列式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 由相同指标的伯努利多项式之和与差构成的序列，其海格尔行列式如何评估？
• RQ2 如何利用伯努利和欧拉多项式的导数推导新的海格尔行列式恒等式？
• RQ3 与小导子的狄利克雷特征相关的广义伯努利多项式的海格尔行列式如何评估？
• RQ4 序列 $ kE_{k-1} $ 的海格尔行列式行为如何？可推导出何种封闭形式表达式？
• RQ5 欧拉数的海格尔行列式与组合定义序列 $ \mathbf{E}_n $ 的海格尔行列式之间存在何种关系？如何在二者之间转移恒等式？

主要发现

• 欧拉数的海格尔行列式 $ H_n(E_k) $ 为 $ (-1)^{\binom{n+1}{2}}\prod_{\ell=1}^{n}\ell!^2 $，此为已知结果，本文予以确认并赋予上下文意义。
• 对于序列 $ kE_{k-1} $，奇数阶海格尔行列式为 $ H_{2m+1}(kE_{k-1}) = (-1)^{m+1}2^{4m(m+1)}\prod_{\ell=1}^{m}\ell!^8 $，而偶数阶行列式为零。
• 推导出形如 $ H_n(\mathcal{B}^{k+2}({\mathcal{B}}+1)_{a-1}({\mathcal{B}}+1)_{b-1}(-{\mathcal{B}}+1)_{c-1}(-{\mathcal{B}}+1)_{d-1}) $ 的海格尔行列式的通用恒等式，涉及阶乘与幂次。
• 该方法成功评估了在小导子狄利克雷特征下广义伯努利多项式的海格尔行列式。
• 本文在组合序列 $ \mathbf{E}_n $ 与经典欧拉数之间建立了桥梁，实现了海格尔行列式恒等式的相互转换。
• 本研究确认并扩展了Han [9] 与Fulmek和Krattenthaler [8] 的结果，尤其针对涉及 $ \mathbf{E}_k $ 与 $ \mathbf{E}_k/(k)! $ 的混合序列。