[论文解读] Hankel matrices acting on the Hardy space $H^1$ and on Dirichlet spaces

Daniel Girela, Noel Merchán|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文研究了在 [0,1) 上有限正 Borel 测度诱导的 Hankel 矩阵，分析其在 Hardy 空间 $H^1$ 和 Dirichlet 型空间上的作用。结果表明，若该测度为 1-对数 1-Carleson 测度，则 Hankel 算子将 $H^1$ 映射到 Dirichlet 空间 $π^1_0$，从而推广了关于广义 Hilbert 算子有界性与值域性质的已知结果。

ABSTRACT

If $\,μ\,$ is a finite positive Borel measure on the interval $\,[0,1)$, we let $\,\mathcal H_μ\,$ be the Hankel matrix $\,(μ_{n, k})_{n,k\ge 0}\,$ with entries $\,μ_{n, k}=μ_{n+k}$, where, for $\,n\,=\,0, 1, 2, \dots $, $μ_n\,$ denotes the moment of order $\,n\,$ of $\,μ$. This matrix induces formally the operator $\,\mathcal{H}_μ(f)(z)= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\infty} μ_{n,k}{a_k} ight)z^n\,$ on the space of all analytic functions $\,f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k\,$, in the unit disc $\,\mathbb D $. When $\,μ\,$ is the Lebesgue measure on $\,[0,1)\,$ the operator $\,\mathcal H_μ\,$ is the classical Hilbert operator $\,\mathcal H\,$ which is bounded on $\,H^p\,$ if $\,1

研究动机与目标

• 刻画当 $\mu$ 为 [0,1) 上有限正 Borel 测度时，Hankel 矩阵 $\mathcal{H}_\mu$ 在 Hardy 空间 $H^1$ 上的作用。
• 确定当 $\mu$ 为 $\alpha$-对数 1-Carleson 测度且 $0 < \alpha < 1$ 时，$\mathcal{H}_\mu$ 在 $H^1$ 上的精确值域。
• 研究 $\mathcal{H}_\mu$ 在 Bergman 空间与 Dirichlet 型空间（特别是 $\mathcal{D}^p_\alpha$）上的有界性与映射性质。
• 通过分析其在 Cauchy 变换空间与 Dirichlet 空间中的作用，推广经典 Hilbert 算子 $\mathcal{H}$ 的已知结果，该算子在 $H^p$ 上有界（$1 < p < \infty$），但在 $H^1$ 上无界。

提出的方法

• 作者通过矩 $\mu_{n,k} = \mu_{n+k}$ 定义 Hankel 矩阵 $\mathcal{H}_\mu$，并借助形式矩阵乘法诱导解析函数上的算子。
• 他们利用 $H^1$ 与 Bloch 空间之间的对偶性，以及 $A^1_\alpha$ 与小 Bloch 空间的对偶识别，通过积分配对分析有界性。
• 关键技术工具是积分表示，例如 $\mathcal{I}_\mu f(z) = \int_0^1 \frac{f(t)}{1 - tz} dt$，当 $f \in H^1$ 时，该式与 $\mathcal{H}_\mu f$ 一致。
• 他们应用 Hölder 不等式，并结合最大函数 $M_\infty(t,f)$ 的估计，以控制 Dirichlet 空间中导数的 $L^p$-范数。
• 证明依赖于关于 Carleson 测度与 $\alpha$-Carleson 测度的已知结果，特别是 $\nu(t) = (1-t)^\alpha \mu(t)$ 是 Carleson 测度当且仅当 $\mu$ 是 1-对数 1-Carleson 测度。
• 他们利用算子 $T\phi(\xi) = (1-|\xi|^2)^{-\alpha} \int_\mathbb{D} \frac{(1-|z|^2)^\alpha \phi(z)}{(1 - \xi \bar z)^2} dA(z)$ 从 Bloch 空间到 $L^\infty$ 的有界性，以控制积分配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种测度 $\mu$ 条件下，Hankel 算子 $\mathcal{H}_\mu$ 有界映射 $H^1$ 到 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^1_0$？
• RQ2 当 $\mu$ 为 $\alpha$-对数 1-Carleson 测度且 $0 < \alpha < 1$ 时，$\mathcal{H}_\mu$ 在 $H^1$ 上的精确值域是什么？
• RQ3 当 $\mu$ 为 Carleson 测度且 $-1 < \alpha < 0$ 时，算子 $\mathcal{H}_\mu$ 是否有界映射 $\mathcal{D}^1_\alpha$ 到其自身？
• RQ4 定理 6 的逆命题是否成立，即若 $\mathcal{H}_\mu$ 在 $\mathcal{D}^1_\alpha$ 上有界，$\mu$ 是否必为 Carleson 测度？

主要发现

• 若 $\mu$ 为 1-对数 1-Carleson 测度，则 $\mathcal{H}_\mu$ 将 $H^1$ 映射到 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^1_0$。
• 当 $\mu$ 为 $\alpha$-对数 1-Carleson 测度且 $0 < \alpha < 1$ 时，$\mathcal{H}_\mu$ 在 $H^1$ 上的值域包含于 $\mathcal{D}^1_0$。
• 当 $\mu$ 为 Carleson 测度时，$\mathcal{H}_\mu$ 是 $\mathcal{D}^1_\alpha$ 到其自身的有界算子，其中 $-1 < \alpha < 0$。
• 当 $\mu$ 为 Carleson 测度时，对偶配对 $\langle h, \mathcal{I}_\mu f \rangle$ 有界于 $\|h\|_{\mathcal{B}} \|f\|_{\mathcal{D}^1_\alpha}$，通过配对有界性建立有界性。
• 对所有 $f \in \mathcal{D}^1_\alpha$，不等式 $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (n+1)^{-(1+\alpha)} \lesssim \|f\|_{\mathcal{D}^1_\alpha}$ 成立，但对 $p=1$，其逆不等式未被证明。