[论文解读] Hankel Tensors: Associated Hankel Matrices and Vandermonde Decomposition

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文引入了Hankel张量，并建立了其与Hankel矩阵、平面张量及Vandermonde分解之间的联系。证明了m阶n维张量为Hankel张量当且仅当其可进行Vandermonde分解，且分别通过此类分解中的半正定性和非负系数，刻画了强Hankel张量与完全Hankel张量。关键结果表明，偶数阶的强Hankel张量与完全Hankel张量均为半正定，且其Hadamard积保持这些性质。

ABSTRACT

Hankel tensors arise from applications such as signal processing. In this paper, we make an initial study on Hankel tensors. For each Hankel tensor, we associate it with a Hankel matrix and a higher order two-dimensional symmetric tensor, which we call the associated plane tensor. If the associated Hankel matrix is positive semi-definite, we call such a Hankel tensor a strong Hankel tensor. We show that an $m$ order $n$-dimensional tensor is a Hankel tensor if and only if it has a Vandermonde decomposition. We call a Hankel tensor a complete Hankel tensor if it has a Vandermonde decomposition with positive coefficients. We prove that if a Hankel tensor is copositive or an even order Hankel tensor is positive semi-definite, then the associated plane tensor is copositive or positive semi-definite, respectively. We show that even order strong and complete Hankel tensors are positive semi-definite, the Hadamard product of two strong Hankel tensors is a strong Hankel tensor, and the Hadamard product of two complete Hankel tensors is a complete Hankel tensor. We show that all the H-eigenvalue of a complete Hankel tensors (maybe of odd order) are nonnegative. We give some upper bounds and lower bounds for the smallest and the largest Z-eigenvalues of a Hankel tensor, respectively. Further questions on Hankel tensors are raised.

研究动机与目标

• 建立Hankel张量的基础性质，其在信号处理与张量应用中出现。
• 为每个Hankel张量定义并分析其关联的Hankel矩阵与平面张量。
• 通过半正定性与Vandermonde分解系数的非负性，刻画强Hankel张量与完全Hankel张量。
• 研究Hankel张量的特征值界限与copositivity条件。
• 提出算法与开放问题，以进一步研究Hankel张量的结构与计算。

提出的方法

• 将每个Hankel张量与一个Hankel矩阵及一个对称平面张量（阶数为(n−1)m，维数为2）关联。
• 为Hankel张量定义一个生成函数，并证明该函数的非负性刻画了强Hankel张量。
• 利用Vandermonde分解证明：一个张量是Hankel张量当且仅当其可进行此类分解。
• 应用优化技术，通过在[0,1]上最小化一个单变量多项式，检验平面张量的copositivity。
• 利用特征值分析与范数不等式，推导Hankel张量Z-特征值的上下界。
• 利用对称性与张量代数，证明强Hankel张量与完全Hankel张量在Hadamard积下保持封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效计算Hankel张量的最大与最小H-特征值（Z-特征值）？
• RQ2 计算Hankel张量、强Hankel张量与完全Hankel张量的最小H-特征值的计算复杂度是多少？
• RQ3 文献[9]中命题8的逆命题（即非负主子式行列式蕴含半正定性）对Hankel张量是否成立？
• RQ4 是否应研究无限Hankel张量与多线性Hankel算子，类似于无限Hankel矩阵？
• RQ5 能否为Hankel张量结构中的特征值计算构造高效算法？

主要发现

• m阶n维张量是Hankel张量当且仅当其可进行Vandermonde分解。
• Hankel张量为强Hankel张量当且仅当其关联的Hankel矩阵为半正定。
• 偶数阶强Hankel张量为半正定，且偶数阶完全Hankel张量的所有H-特征值均非负。
• 两个强Hankel张量的Hadamard积仍为强Hankel张量，两个完全Hankel张量的Hadamard积仍为完全Hankel张量。
• 若Hankel张量为copositive，或偶数阶Hankel张量为半正定，则其关联的平面张量分别为copositive或半正定。
• 利用范数与特征值不等式，推导出Hankel张量最小与最大Z-特征值的上下界。