[论文解读] Hard Submatrices for Non-Negative Rank and Communication Complexity

Hrubeš, Pavel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

graph theory and CDMA systems被引用 1

一句话总结

该论文在合理的复杂度假设下，证明了某些 0/1 多面体（包括拟阵多面体和旅行商问题多面体）需要具有指数级数量面的扩展形式，从而排除了紧凑的线性规划公式。作者通过在子系统上应用新颖的离散化与体积最大化技术，构建了从集合 X ⊆ {0,1}^n 到多项式编码系统的单射映射，证明了需要双指数级数量的此类系统，从而表明某些 0/1 多面体具有指数级扩展复杂度。

ABSTRACT

Given a non-negative real matrix M of non-negative rank at least r, can we witness this fact by a small submatrix of M? While Moitra (SIAM J. Comput. 2013) proved that this cannot be achieved exactly, we show that such a witnessing is possible approximately: an m×n matrix of non-negative rank r always contains a submatrix with at most r³ rows and columns with non-negative rank at least Ω(r/(log n log m)). A similar result is proved for the 1-partition number of a Boolean matrix and, consequently, also for its two-player deterministic communication complexity. Tightness of the latter estimate is closely related to the log-rank conjecture of Lovász and Saks.

研究动机与目标

• 解决关于是否存在某些 0/1 多面体无法拥有紧凑扩展形式这一开放问题。
• 证明即使允许任意实数系数，TSP 多面体和拟阵多面体也无法拥有多项式大小的扩展形式。
• 通过引入一种保持可行性和编码界不变的离散化方法，克服线性规划公式中无理系数的障碍。
• 建立扩展复杂度与电路复杂度之间的联系，表明若 NP ∉ P/poly，则 TSP 不存在紧凑形式。
• 证明具有紧凑形式的语言类 CF 包含于 P/poly，且在复杂度假设下，CF 严格小于 P/poly。

提出的方法

• 从子集 X ⊆ {0,1}^n 构造到扩展形式 (A̅, U̅, b̅) 的单射映射，其编码长度为多项式。
• 对每个 X，选取原扩展形式中体积最大的线性子系统，并对矩阵 U 的系数进行离散化以控制编码长度。
• 使用一种舍入过程，确保当且仅当存在一个短证书 y 满足 A̅x + U̅y ≈ b̅ 且误差在多项式范围内时，有 x ∈ conv(X)。
• 利用映射的单射性，证明此类系统数量必须为双指数级，从而表明某些多面体需要指数级数量的面。
• 不直接对所有多面体应用计数论证，而是对离散化系统进行，避免了无理系数带来的问题。
• 利用若 NP ∉ P/poly，则像 TSP 这类语言无法属于 CF 的事实，即使允许实数系数，通过将 NP-难优化问题归约为扩展形式中的可行性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在某些 0/1 多面体，即使允许任意实数系数，也无法拥有任何紧凑扩展形式？
• RQ2 能否在不假设形式对称性的前提下，证明 TSP 多面体的扩展复杂度为超多项式？
• RQ3 是否可以绕过扩展形式中系数的无理性，从而在复杂度理论中应用计数论证？
• RQ4 能否在复杂性理论假设下，严格区分具有紧凑形式的语言类 CF 与 P/poly？
• RQ5 TSP 多面体存在紧凑形式是否意味着 NP ⊆ P/poly？

主要发现

• 对每个 n，存在一个集合 X ⊆ {0,1}^n，使得 conv(X) 的扩展复杂度至少为 2^{n/2·(1−o(1))}，即任何扩展形式都必须具有指数级数量的面。
• 即使将 conv(X) 限制为拟阵多面体，相同的指数下界依然成立。
• 在 NP ∉ P/poly 的假设下，TSP 多面体无法拥有任何紧凑扩展形式，即使允许在公式中使用实数。
• 具有紧凑形式的语言类 CF 包含于 P/poly，且在 NP ∉ P/poly 的假设下，CF 是 P/poly 的真子类。
• 三维匹配问题（3DM）属于 AC0，但除非 NP ⊆ P/poly，否则不属于 CF，这表明在相同假设下，AC0 不包含于 CF。
• 本文证明了 CF ⊆ P/poly，且在 NP ∉ P/poly 的假设下，CF 严格小于 P/poly，从而在复杂性理论层面实现了对紧凑形式的分离。