[论文解读] Hardness and Algorithms for Rainbow Connectivity

Sourav Chakraborty, Eldar Fischer+2 more|ArXiv.org|Feb 7, 2009

Interconnection Networks and Systems被引用 10

一句话总结

本文證明了判斷圖是否具有彩虹連通性2是NP完全問題，從而證明計算彩虹連通性是NP困難的。此外，本文顯示最小度Ω(n)的圖具有有界彩虹連通性，並提供了一種多項式時間演算法來構造此類染色，其明確的界僅取決於最小度分數ε。

ABSTRACT

An edge-colored graph G is rainbow connected if any two vertices are connected by a path whose edges have distinct colors. The rainbow connectivity of a connected graph G, denoted rc(G), is the smallest number of colors that are needed in order to make G rainbow connected. In addition to being a natural combinatorial problem, the rainbow connectivity problem is motivated by applications in cellular networks. In this paper we give the first proof that computing rc(G) is NP-Hard. In fact, we prove that it is already NP-Complete to decide if rc(G) = 2, and also that it is NP-Complete to decide whether a given edge-colored (with an unbounded number of colors) graph is rainbow connected. On the positive side, we prove that for every $ε$ > 0, a connected graph with minimum degree at least $εn$ has bounded rainbow connectivity, where the bound depends only on $ε$, and the corresponding coloring can be constructed in polynomial time. Additional non-trivial upper bounds, as well as open problems and conjectures are also pre sented.

研究动机与目标

• 透過證明彩虹連通性的計算複雜度為NP困難，以解決其計算複雜度問題。
• 確認判斷rc(G) = 2是否為NP完全問題，以解決先前研究中提出的猜想。
• 建立彩虹連通性有界的充分條件，特別是針對最小度較高的圖。
• 發展多項式時間演算法，以在這些圖中構造有界彩虹染色。
• 探討圖直徑、最小度與彩虹連通性之間的關係，並提供具可證明保證的演算法構造。

提出的方法

• 透過一系列歸約，證明判斷rc(G) = 2的NP完全性，包括與指定頂點對集合的2邊色問題等價。
• 透過從s-t彩虹路徑問題歸約，證明在邊染色圖中驗證彩虹連通性的NP完全性。
• 應用針對邊染色問題改良的Szemerédi正則性引理，並針對固定ε提供演算法構造。
• 使用兩色方案，共八種不同顏色（a1–a4, b1–b4），以確保頂點分割中各簇內的a-與b-彩虹連通性。
• 透過為大小有界的生成樹中的邊分配獨特的新顏色，來精煉初始染色，從而確保全域彩虹連通性。
• 利用高最小度意味著小直徑（≤ 3/ε）的事實，使能構造小規模生成樹以精煉染色。

实验结果

研究问题

• RQ1 判斷圖是否具有精確為2的彩虹連通性是否為NP完全問題？
• RQ2 驗證給定邊染色是否使圖為彩虹連通的問題是否為NP完全問題？
• RQ3 是否可保證最小度為Ω(n)的圖具有有界彩虹連通性？若是，其界如何以ε表示？
• RQ4 能否在多項式時間內計算出顏色數量由ε的函數有界的彩虹染色？
• RQ5 在稠密圖中，直徑、最小度與彩虹連通性之間的關係為何？

主要发现

• 判斷rc(G) = 2是否為NP完全問題，解決了Caro等人提出的猜想，並證明計算rc(G)是NP困難的。
• 在邊染色圖中驗證彩虹連通性是NP完全問題，即使顏色數量無界亦然。
• 對於每個ε > 0，任何最小度至少為εn的連通圖，其彩虹連通性至多為C(ε)，其中C(ε)僅取決於ε。
• 存在多項式時間演算法，可為任何固定ε > 0的圖構造出最多C(ε)種顏色的彩虹染色。
• 若圖的直徑為2且最小度至少為8 log n，則rc(G) ≤ 3，且可在多項式時間內找到3色染色。
• 對此類圖進行隨機3邊染色，以高機率產生彩虹染色，且對所有最小度為n/2的圖，均有rc(G) ≤ 3。