[论文解读] Hardness of Approximating Bounded-Degree Max 2-CSP and Independent Set on k-Claw-Free Graphs

Lee, Euiwoong, Manurangsi, Pasin|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本论文研究了凸松弛方法——特别是Sherali-Adams和Sum-of-Squares层级——在k-爪-free图中近似最大权独立集（MWIS）的极限。它构造了一个无限族k-爪-free图，其中色数相对于团数呈超多项式增长，即使独立数较大，从而证明条件性χ-有界性（一种使凸松弛方法能实现良好近似的关键性质）无法推广至k≥4的情况。这意味着已知的凸松弛方法无法在k≥4的k-爪-free图中实现MWIS的常数因子近似。

ABSTRACT

This paper studies $k$-claw-free graphs, exploring the connection between an extremal combinatorics question and the power of a convex program in approximating the maximum-weight independent set in this graph class. For the extremal question, we consider the notion, that we call extit{conditional $χ$-boundedness} of a graph: Given a graph $G$ that is assumed to contain an independent set of a certain (constant) size, we are interested in upper bounding the chromatic number in terms of the clique number of $G$. This question, besides being interesting on its own, has algorithmic implications (which have been relatively neglected in the literature) on the performance of SDP relaxations in estimating the value of maximum-weight independent set. For $k=3$, Chudnovsky and Seymour (JCTB 2010) prove that any $3$-claw-free graph $G$ with an independent set of size three must satisfy $χ(G) \leq 2 ω(G)$. Their result implies a factor $2$-estimation algorithm for the maximum weight independent set via an SDP relaxation (providing the first non-trivial result for maximum-weight independent set in such graphs via a convex relaxation). An obvious open question is whether a similar conditional $χ$-boundedness phenomenon holds for any $k$-claw-free graph. Our main result answers this question negatively. We further present some evidence that our construction could be useful in studying more broadly the power of convex relaxations in the context of approximating maximum weight independent set in $k$-claw free graphs. In particular, we prove a lower bound on families of convex programs that are stronger than known convex relaxations used algorithmically in this context.

研究动机与目标

• 本论文旨在理解凸松弛方法（尤其是Sherali-Adams和Sum-of-Squares）在k-爪-free图中近似MWIS的能力。
• 研究Chudnovsky与Seymour对3-爪-free图的条件性χ-有界性结果（当α(G) ≥ 3时χ(G) ≤ 2ω(G)）是否可推广至k≥4的k-爪-free图。
• 目标是确定此类松弛方法是否能在k-爪-free图中实现MWIS的常数因子近似，尤其是在标准松弛方法如QSTAB失效的情况下。
• 本研究旨在通过极值图构造，建立此类上下文中凸松弛方法积分间隙的下界。

提出的方法

• 作者引入了(t, γ)-条件性χ-有界图的概念，其中当α(G) ≥ t时，有χ(G) ≤ γω(G)。
• 他们构造了一个由n个顶点组成的连通k-爪-free图无限族{Gn}，满足α(Gn) = Ω(n / log n)，且χ(Gn) ≥ f(k) · (ω(Gn) / log ω(Gn))^{k/2}，其中f为某函数。
• 该构造使用拉姆齐理论图作为构建模块，具体为独立数和团数受控的(k−1, t)-拉姆齐图。
• 通过定义SA+ℓ(G)的可行解ˆy（空集取值1，单点集取值1/(ω(G)+ℓ)，其余为0），分析Sherali-Adams层级的积分间隙。
• 通过针对所有S、T和团Q，对|S|及S是否属于Q或T进行分类讨论，验证了该解满足所有SA+ℓ约束(1)–(3)的可行性。
• 随后，积分间隙的下界被界定为n / (α(G)(ω(G)+ℓ))，当ℓ = Θk(n^{1−2ϵ})且α(G) = Ω(nϵ)时，该值为Ωk(nϵ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 3-爪-free图中条件性χ-有界性结果χ(G) ≤ 2ω(G)（当α(G) ≥ 3时）能否推广至k≥4的k-爪-free图？
• RQ2 Sherali-Adams或Sum-of-Squares等凸松弛方法是否能在k≥4的k-爪-free图中实现MWIS的常数因子近似？
• RQ3 在k-爪-free图中，QSTAB或Sherali-Adams等凸松弛方法所能达到的最佳积分间隙是多少？
• RQ4 基于拉姆齐理论的极值图构造如何揭示凸松弛方法在近似MWIS时的局限性？

主要发现

• 对每个k ≥ 4，存在一个由n个顶点组成的连通k-爪-free图无限族{Gn}，其独立数α(Gn) = Ω(n / log n)。
• 这些图满足χ(Gn) ≥ f(k) · (ω(Gn) / log ω(Gn))^{k/2}（f为某函数），表明色数相对于团数呈超多项式增长。
• 当ℓ = Θk(n^{1−2ϵ})时，这些图上Sherali-Adams层级的积分间隙至少为Ωk(nϵ)，其中ϵ ≤ 1/3。
• 所构造的图否定了k≥4时(t, γ)-条件性χ-有界性的可能性，即使t = O(1)，从而关闭了Chudnovsky–Seymour结果的一个自然推广。
• 该结果意味着，包括QSTAB和Sherali-Adams在内的已知凸松弛方法无法在k≥4的k-爪-free图中实现MWIS的常数因子近似。
• 积分间隙的下界几乎匹配拉姆齐理论给出的当前最佳上界，表明该构造在现有极值界限下具有紧致性。