[论文解读] Hardness of discrepancy computation and epsilon-net verification in high dimension

Panos Giannopoulos, Christian Knauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文证明了在高维几何范围空间中计算不协调性（discrepancy）和验证ε-网（epsilon-net）问题是关于维度d的W[1]-难问题，这意味着在标准复杂性假设下，不存在固定参数可满足的算法。结果表明，除非3-SAT问题可在2^{o(n)}时间内求解，否则这些问题需要n^{Ω(d)}的时间，从而确立了高维高效计算的根本限制。

ABSTRACT

Discrepancy measures how uniformly distributed a point set is with respect to a given set of ranges. There are two notions of discrepancy, namely continuous discrepancy and combinatorial discrepancy. Depending on the ranges, several possible variants arise, for example star discrepancy, box discrepancy, and discrepancy of half-spaces. In this paper, we investigate the hardness of these problems with respect to the dimension d of the underlying space. All these problems are solvable in time {n^O(d)}, but such a time dependency quickly becomes intractable for high-dimensional data. Thus it is interesting to ask whether the dependency on d can be moderated. We answer this question negatively by proving that the canonical decision problems are W[1]-hard with respect to the dimension. This is done via a parameterized reduction from the Clique problem. As the parameter stays linear in the input parameter, the results moreover imply that these problems require {n^Ω(d)} time, unless 3-Sat can be solved in {2^o(n)} time. Further, we derive that testing whether a given set is an ε-net with respect to half-spaces takes {n^Ω(d)} time under the same assumption. As intermediate results, we discover the W[1]-hardness of other well known problems, such as determining the largest empty star inside the unit cube. For this, we show that it is even hard to approximate within a factor of {2^n}.

研究动机与目标

• 确定在高维几何范围空间中，不协调性计算和ε-网验证是否能以维度d为参数高效求解。
• 研究这些问题在以维度d为参数时，是否具有固定参数可满足（FPT）算法。
• 在标准复杂性理论假设下，为这些问题建立计算下界。
• 探索相关几何问题（如最大空星形）的不可近似性。
• 证明维度d的依赖关系是本质性的，而非当前算法局限所致。

提出的方法

• 通过从团问题（Clique problem）出发的参数化归约，证明高维下不协调性计算和ε-网验证的W[1]-难性。
• 在d维单位立方体内构造几何点集，通过范围空间的性质编码团问题的实例。
• 利用Koksma–Hlawka不等式以及半空间、长方体和凸集的结构，以几何方式模拟团的存在性。
• 应用一种变换来提升点集，确保大空长方体或范围对应于原图中的团。
• 将构造方法适配到不同范围空间（包括立方体、凸集和无限制长方体），以推广难解性结果。
• 利用如下事实：若存在一个包含ε|P|个点但不包含S中任何点的范围，则集合S不是ε-网，从而将此与大空范围的存在性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 高维几何范围空间中的不协调性计算能否以维度d为参数在FPT时间内求解？
• RQ2 是否存在一个固定参数可满足算法，用于验证给定集合在高维下半空间中是否为ε-网？
• RQ3 在d维单位立方体内寻找最大空星形的计算复杂度是多少？
• RQ4 当以维度为参数时，能否在FPT时间内以常数因子近似点集的星形不协调性？
• RQ5 W[1]-难性对高维数值积分和几何优化中高效算法存在性有何影响？

主要发现

• 星形不协调性、长方体不协调性和半空间不协调性的判定问题是关于维度d的W[1]-难问题。
• 在标准复杂性假设下，除非3-SAT问题可在2^{o(n)}时间内求解，否则这些问题需要n^{Ω(d)}的时间。
• 在d维单位立方体内寻找最大空星形的问题是W[1]-难问题，且无法在2^n因子内近似。
• 验证一个集合是否为半空间范围下的ε-网是关于维度d的W[1]-难问题。
• 这些难解性结果可推广至其他几何范围空间，包括立方体、凸集和无限制长方体。
• 结果表明，在FPT ≠ W[1]的假设下，这些问题不存在FPT算法，从而确立了高维高效计算的根本限制。