[论文解读] Hardness of embedding simplicial complexes in $\R^d$

Jiřı́ Matoušek, Martin Tancer+1 more|ArXiv.org|Jul 2, 2008

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 37被引用 18

一句话总结

本文確立了將有限單純複形嵌入歐幾里得空間的計算複雜度，證明在滿足 d ≥ 4 且 k ≥ (2d−2)/3 的維度下，EMBED k→d 為 NP-困難，包含 EMBED 2→4 的情況。該結果透過從 3-SAT 的約化，結合拓撲障礙與文獻中的範例推導而出，顯示在 metastable 範圍之外，可嵌入性無法由簡單的準則所描述。

ABSTRACT

Let EMBED(k,d) be the following algorithmic problem: Given a finite simplicial complex K of dimension at most k, does there exist a (piecewise linear) embedding of K into R^d? Known results easily imply polynomiality of EMBED(k,2) (k=1,2; the case k=1, d=2 is graph planarity) and of EMBED(k,2k) for all k>2 (even if k is not considered fixed). We observe that the celebrated result of Novikov on the algorithmic unsolvability of recognizing the 5-sphere implies that EMBED(d,d) and EMBED(d-1,d) are undecidable for each d>4. Our main result is NP-hardness of EMBED(2,4) and, more generally, of EMBED(k,d) for all k,d with d>3 and d\geq k \geq (2d-2)/3. These dimensions fall outside the so-called metastable range of a theorem of Haefliger and Weber, which characterizes embeddability using the deleted product obstruction. Our reductions are based on examples, due to Segal, Spież, Freedman, Krushkal, Teichner, and Skopenkov, showing that outside the metastable range the deleted product obstruction is not sufficient to characterize embeddability.

研究动机与目标

• 確定維度至多為 k 的有限單純複形嵌入 R^d 的計算複雜度。
• 識別嵌入問題中可 tractable 與不可 tractable 情況的邊界，特別是在 metastable 範圍之外。
• 根據困難度結果，證明在某些維度下，可嵌入性的簡單結構特徵化不存在。
• 澄清刪除乘積障礙在可嵌入性中的角色，顯示其在 metastable 範圍之外不充分。
• 將已知關於平面性（k=1, d=2）與在 2k 維空間中可嵌入性（k≥3）的結果，延伸至具有複雜度界限的高維情況。

提出的方法

• 從 3-SAT 約化至 EMBED k→d 問題，適用於 d ≥ 4 且 k ≥ (2d−2)/3。
• 在 R^d 中使用具有受控連結性與無結性質的拓撲嵌入，構造子句與變數元件。
• 在嵌入子複形的鄰域內使用私有元件 Qωj 和 Q+ωj，以模擬變數賦值。
• 利用 Segal、Spież、Freedman、Krushkal、Teichner 與 Skopenkov 的範例，顯示刪除乘積障礙在 metastable 範圍之外失效。
• 使用 PL 嵌入以確保可計算性與可表示性，避免一般拓撲嵌入的不可判定性。
• 應用 Van Kampen、Shapiro 與 Wu 關於可嵌入性障礙及其演算法限制的結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於所有 k 與 d，將 k 維單純複形嵌入 R^d 的問題是否具有計算上的可 tractable 性？
• RQ2 EMBED 2→4 的計算複雜度為何？它是否位於 metastable 範圍之外？
• RQ3 在 d ≥ 4 與 k ≥ (2d−2)/3 維度下，刪除乘積障礙是否能完全特徵化可嵌入性？
• RQ4 如 NP-困難性所示，是否存在嵌入準則在 metastable 範圍之外的本質結構限制？
• RQ5 已知的拓撲障礙在高維設定中，其失效程度如何，無法捕捉可嵌入性？

主要发现

• EMBED 2→4 為 NP-困難，確立了將 2-複形嵌入四維空間的首個 NP-困難結果。
• 對於所有滿足 d ≥ 4 與 k ≥ (2d−2)/3 的 k、d，EMBED k→d 為 NP-困難，將困難度延伸至 metastable 範圍之外。
• 刪除乘積障礙在非 metastable 區域中不足以特徵化可嵌入性，此點由文獻中的反例所顯示。
• 對於 d ≥ 5，EMBED d→d 與 EMBED (d−1)→d 的不可判定性被推導而出，此源自 Novikov 對五維球面識別問題不可解的結果。
• 結果顯示，在這些維度下，不可能存在簡單的禁用子圖或基於障礙的可嵌入性特徵化。
• 該困難度結果具有強健性，並透過使用具有受控連結性與無結性質的拓撲元件，從 3-SAT 明確約化構造而成。