[论文解读] Hardy inequalities for fractional $(k,a)$-generalized harmonic oscillator

Wentao Teng|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2020

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入 $a$-变形拉盖尔算子和全纯半群，推导出 $(k,a)$-广义拉盖尔半群的球谐展开，其在 $z = \pi i/2$ 时退化为博赫纳型恒等式。建立了关于 $a$-变形Dunkl调和算子 $\triangle_{k,a}$ 的分数阶Hardy不等式，恢复了已知的 $a=2$（Dunkl-Hermite）和 $a=1$（Kobayashi-Mano）情形的结果。

ABSTRACT

In this paper, we will define $a$-deformed Laguerre operators $L_{a,α}$ and $a$-deformed Laguerre holomorphic semigroups on $L^2\left(\left(0,\infty ight),dμ_{a,α} ight)$. Then we give a spherical harmonic expansion, which reduces to the Bochner-type identity when taking the boundary value $z=\frac{πi}2$, of the $(k,a)$-generalized Laguerre semigroup introduced by S. Ben Saïd, T. Kobayashi and B. Ørsted. And then we prove a Hardy inequality for fractional powers of the $a$-deformed Dunkl harmonic oscillator $ riangle_{k,a}:=\left|x ight|^{2-a} riangle_k-\left|x ight|^a$ using this expansion. When $a=2$, the fractional Hardy inequality reduces to that of Dunkl--Hermite operators given by Ó. Ciaurri, L. Roncal and S. Thangavelu. The operators $L_{a,α}$ also give a tangible characterization of the radial part of the $(k,a)$-generalized Laguerre semigroup on each $k$-spherical component $\mathcal H_k^m\left(\mathbb{R}^N ight)$ for $λ_{k,a,m}:=\frac{2m+2\left\langle k ight angle+N-2}a\geq -1/2$ defined via decomposition of unitary representation.

研究动机与目标

• 在 $L^2((0,\infty), d\mu_{a,\alpha})$ 上定义 $a$-变形拉盖尔算子 $L_{a,\alpha}$ 及其关联的全纯半群。
• 通过单位表示的分解，建立 $(k,a)$-广义拉盖尔半群的球谐展开。
• 推导出作为半群展开边界值 $z = \pi i/2$ 的博赫纳型恒等式。
• 利用半群展开，证明关于 $a$-变形Dunkl调和算子 $\triangle_{k,a}$ 的分数阶Hardy不等式。
• 将已知结果作为特例恢复：$a=2$（Dunkl-Hermite）和 $a=1$（Kobayashi-Mano）的情形。

提出的方法

• 将 $a$-变形拉盖尔算子 $L_{a,\alpha}$ 定义为 $a$-变形拉盖尔全纯半群 $I_{a,\alpha;z} = e^{-\frac{z}{a}L_{a,\alpha}}$ 在 $L^2((0,\infty), d\mu_{a,\alpha})$ 上的无穷小生成元。
• 利用 $S\widetilde{L}(2,\mathbb{R})$ 的单位表示的分解，表达 $(k,a)$-广义拉盖尔半群在每个 $k$-球谐分量 $\mathcal{H}_k^m(\mathbb{R}^N)$ 上的径向部分 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$。
• 建立恒等式 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)f(s) = s^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(s)$，将半群与 $a$-变形拉盖尔半群联系起来。
• 推导出 $\mathcal{I}_{k,a}(z)f(x) = \sum_{m,j} Y_{m,j}(x') r^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(r)$ 的球谐展开，其中 $f \in L^2(\mathbb{R}^N, \vartheta_{k,a}(x)dx)$。
• 证明边界值 $z = \pi i/2$ 对应于 $a$-变形哈代变换 $H_{a,\alpha}(f)$，并恢复已知变换作为特例。
• 应用半群展开，推导出 $\triangle_{k,a}$ 的分数阶Hardy不等式，其在 $\lambda_{k,a,m} \geq -1/2$ 时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过球谐函数和 $a$-变形拉盖尔算子分解 $(k,a)$-广义拉盖尔半群？
• RQ2 径向部分 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ 的精确形式如何用 $a$-变形拉盖尔半群表示？
• RQ3 $z = \pi i/2$ 时半群的边界值如何与 $a$-变形哈代变换关联？
• RQ4 能否利用此半群结构为 $a$-变形Dunkl调和算子 $\triangle_{k,a}$ 建立分数阶Hardy不等式？
• RQ5 结果如何特化为已知情形，如 $a=2$（Dunkl-Hermite）和 $a=1$（Kobayashi-Mano）？

主要发现

• $(k,a)$-广义拉盖尔半群的球谐展开为 $\mathcal{I}_{k,a}(z)f(x) = \sum_{m,j} Y_{m,j}(x') r^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(r)$，对满足 $4\langle k\rangle + 2N + a - 4 \geq 0$ 的 $f \in L^2(\mathbb{R}^N, \vartheta_{k,a}(x)dx)$ 成立。
• $a$-变形拉盖尔半群 $I_{a,\alpha;z}$ 在 $z = \pi i/2$ 时退化为 $a$-变形哈代变换 $H_{a,\alpha}$，满足 $e^{(\alpha+1)\pi i/2} I_{a,\alpha;\pi i/2}(f) = H_{a,\alpha}(f)$。
• $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ 的径向部分显式表示为 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)f(s) = s^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(s)$，其中 $\lambda_{k,a,m} = \frac{2m + 2\langle k\rangle + N - 2}{a}$。
• $\triangle_{k,a}$ 的分数阶Hardy不等式在 $\lambda_{k,a,m} \geq -1/2$ 条件下成立，推广了已知的 $a=2$（Dunkl-Hermite）和 $a=1$（Kobayashi-Mano）情形。
• $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ 的无穷小生成元为 $-\frac{1}{a} L_{a,\lambda_{k,a,m}}$，确认了 $a$-变形拉盖尔算子与半群径向部分之间的联系。
• 对于径向函数 $f = f_0(|\cdot|)$ 且 $f_0 \in \mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$，算子 $\triangle_{k,a}$ 的作用为 $\triangle_{k,a}f(x) = -L_{a,\lambda_a}(f_0)(r)$，恢复了径向函数上Dunkl拉普拉斯算子的已知公式。