[论文解读] Hardy's inequality in a limiting case on general bounded domains

Jaeyoung Byeon, Futoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了在 $ \mathbb{R}^N $ 中有界区域 $ \Omega $ 上 Hardy 不等式极限情形下的最佳常数 $ C_N(\Omega) $，其中权函数包含 $ |x|^{-N} \left(\log \frac{R}{|x|}\right)^{-N} $。文章建立了 $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ 的充分条件，并证明了在某些区域（包括 $ \mathbb{R}^2 $ 中一个特定的平面区域）中 $ C_N(\Omega) $ 无法取到。

ABSTRACT

In this paper, we study Hardy's inequality in a limiting case: $$ \int_Ω | abla u |^N dx \ge C_N(Ω) \int_Ω \frac{|u(x)|^N}{|x|^N \left(\log \frac{R}{|x|} ight)^N} dx $$ for functions $u \in W^{1,N}_0(Ω)$, where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^N$ with $R = \sup_{x \in Ω} |x|$. We study the (non-)attainability of the best constant $C_N(Ω)$ in several cases. We provide sufficient conditions that assure $C_N(Ω) > C_N(B_R)$ and $C_N(Ω)$ is attained, here $B_R$ is the $N$-dimensional ball with center the origin and radius $R$. Also we provide an example of $Ω\subset \mathbb{R}^2$ such that $C_2(Ω) > C_2(B_R) = 1/4$ and $C_2(Ω)$ is not attained.

研究动机与目标

• 分析一般有界区域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ 上 Hardy 不等式极限情形下的最佳常数 $ C_N(\Omega) $。
• 确定 $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ 的条件，其中 $ B_R $ 是以原点为中心、半径为 $ R $ 的球。
• 研究临界 $ L^N $-情形下最佳常数 $ C_N(\Omega) $ 的可 attainability。
• 在 $ \mathbb{R}^2 $ 中构造一个显式例子，使得 $ C_2(\Omega) > 1/4 $ 且 $ C_2(\Omega) $ 不可 attain。

提出的方法

• 将 $ C_N(\Omega) $ 定义为 $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 中非零函数的比值 $ \frac{\int_\Omega |\nabla u|^N dx}{\int_\Omega \frac{|u|^N}{|x|^N (\log \frac{R}{|x|})^N} dx} $ 的下确界。
• 通过变量替换和球坐标变换，将问题约化为涉及角向与径向导数的一维问题。
• 应用变分法，通过在 $ (0, \pi) $ 上函数的最小化问题估计最佳常数，从而导出一个 Sturm-Liouville 型特征值问题。
• 构造一个 $ \Omega \subset \mathbb{R}^2 $ 的区域，使其在边界附近具有特定的角向行为，以确保 $ C_2(\Omega) > 1/4 $。
• 使用分部积分法，并选取形如 $ u_\alpha(\theta) = (\sin \theta)^\alpha $ 的测试函数，以估计下确界并证明其从上方趋近于 $ 1/4 $。
• 通过证明任何极小化函数都需满足径向导数为零，从而与零边界条件矛盾，来证明不可 attainability。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极限 Hardy 不等式中的最佳常数 $ C_N(\Omega) $ 严格大于 $ C_N(B_R) $？
• RQ2 在 $ W^{1,N}_0\left(\Omega\right) $ 中，最佳常数 $ C_N(\Omega) $ 何时可 attain？
• RQ3 能否构造一个区域使得 $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ 且 $ C_N(\Omega) $ 不可 attain？
• RQ4 区域在原点附近及边界附近的几何结构在决定常数的最优性与可 attainability 中起何作用？

主要发现

• 对于 $ \mathbb{R}^2 $ 中某一特定区域 $ \Omega $，最佳常数满足 $ C_2(\Omega) > 1/4 = C_2(B_R) $，表明其严格优于球体。
• 对于该构造的区域，尽管 $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $，但最佳常数 $ C_N(\Omega) $ 在 $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 中不可 attain。
• 下确界 $ E = \inf \frac{\int_0^\pi (\phi_\theta)^2 d\theta}{\int_0^\pi \frac{\phi^2}{\sin^2 \theta} d\theta} $ 等于 $ 1/4 $，但在 $ W^{1,2}_0(0,\pi) $ 中不可实现。
• 常数 $ C_N(\Omega) $ 的下界为 $ \left(\frac{N-1}{N}\right)^N $，且仅在球体 $ B_R $ 的极限情形下取等。
• 不等式在变换 $ u_\lambda(x) = \lambda^{-(N-1)/N} u\left( (|x|/R)^{\lambda-1} x \right) $ 下的尺度不变性在分析中起关键作用。
• 不可 attainability 的根源在于：任何极小化函数都必须为径向对称，但此类函数除非恒为零，否则无法满足零迹条件。