[论文解读] Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities for higher order derivatives on half spaces

Guozhen Lu, Qiaohua Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文通过双曲空间和对称空间上的傅里叶分析，建立了上半空间上高阶导数的精确 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式。它证明了双曲空间上的一个新的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式，提供了三维情形下精确常数的替代证明，并表明在五维空间和双调和算子情形下，Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式的精确常数等于经典 Sobolev 常数。

ABSTRACT

By using, among other things, the Fourier analysis techniques on hyperbolic and symmetric spaces, we establish the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities for higher order derivatives on half spaces. The proof relies on a Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on hyperbolic spaces which is of its independent interest. We also give an alternative proof of Benguria, Frank and Loss' work concerning the sharp constant in the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequality in the three dimensional upper half space. Finally, we show the sharp constant in the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequality for bi-Laplacian in the upper half space of dimension five coincides with the Sobolev constant.

研究动机与目标

• 将 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式推广至上半空间上的高阶导数。
• 建立双曲空间上的新 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式，作为关键的技术工具。
• 证明在五维空间中双调和算子的 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式中的精确常数等于经典 Sobolev 常数。
• 利用双曲空间技巧，提供三维 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式中精确常数的替代证明。
• 通过共形不变性和谱理论，建立半空间模型与庞加莱球模型之间不等式的联系。

提出的方法

• 利用双曲空间上的傅里叶分析及径向函数的 Plancherel 公式。
• 在庞加莱球模型上应用 GJMS 和 Paneitz 算子，推导高阶 Sobolev 型不等式。
• 建立涉及双曲距离和 Möbius 变换的双曲空间上的新 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式。
• 利用双曲空间上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的谱隙，推导精确的 Hardy 型不等式。
• 依赖于双曲空间的共形不变性，以及半空间模型与球模型之间的等价性。
• 在五维情形下应用算子 $(-\Delta_{\mathbb{H}} - 4)(-\Delta_{\mathbb{H}} - 3)$ 的逆，以比较 Sobolev 常数与 Hardy-Sobolev-Maz’ya 常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式是否可推广至上半空间上的高阶导数？
• RQ2 在五维空间中双调和算子的 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式中，精确常数是多少？
• RQ3 上半空间上高阶 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式的精确常数是否等于经典 Sobolev 常数？
• RQ4 双曲空间上的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式能否用于推导高阶算子的精确 Sobolev 型不等式？
• RQ5 GJMS 算子与共形拉普拉斯算子如何与高阶 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式中的精确常数相关联？

主要发现

• 本文建立了涉及双曲距离和 Möbius 变换的双曲空间上的新 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式，该结果本身具有独立兴趣。
• 在维度 $n=5$ 且 $k=2$ 的情形下，双调和算子的 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式的精确常数与经典 Sobolev 常数 $S_{5,2}$ 相等。
• 通过利用双曲空间技巧的替代证明，表明三维情形下 Laplace 算子的 Hardy-Sobolev-Maz’ya 不等式的精确常数等于相应的 Sobolev 常数。
• 不等式 $\int_{\mathbb{B}^5} (P_2 u) u \, dV - \frac{9}{16} \int_{\mathbb{B}^5} u^2 \, dV \geq S_{5,2} \left( \int_{\mathbb{B}^5} |u|^{10/3} \, dV \right)^{3/5}$ 对精确常数 $S_{5,2}$ 取等号。
• 在五维情形下，显式计算了逆算子 $[(-\Delta_{\mathbb{H}} - 4)(-\Delta_{\mathbb{H}} - 3)]^{-1}$，得到了涉及 $\frac{1}{2\sinh(\rho/2)\cosh^2(\rho/2)}$ 的关键估计。
• 通过半空间模型与球模型之间的等价性，将不等式从双曲几何情形转移到欧氏上半空间，从而确认了双调和算子情形下常数的精确性。