[论文解读] Hardy spaces of Dirichlet series and pseudomoments of the Riemann zeta function

Andriy Bondarenko, Ole Fredrik Brevig+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文利用狄利克雷级数的哈代空间理论与概率估计方法，研究临界线上黎曼ζ函数的伪矩。研究结果表明，当 $k < 1/e$ 且 $N$ 足够大时，$2k$ 阶伪矩的下界超过 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$。关键成果为一个改进的渐近下界，其优于以往估计，并揭示了小 $k$ 值下出人意料的增长行为。

ABSTRACT

The $2$kth pseudomoments of the Riemann zeta function $\zeta(s)$ are, following Conrey and Gamburd, the $2k$th integral moments of the partial sums of $\zeta(s)$ on the critical line. For fixed $k>1/2$, these moments are known to grow like $(\log N)^{k^2}$, where $N$ is the length of the partial sum, but the true order of magnitude remains unknown when $k\le 1/2$. We deduce new Hardy--Littlewood inequalities and apply one of them to improve on an earlier asymptotic estimate when $k o\infty$. In the case $k 1$ and the question of whether the lower bound $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ known from earlier work yields the true growth rate. Using ideas from recent work of Harper, Nikeghbali, and Radziwi{ll} and some probabilistic estimates of Harper, we obtain the somewhat unexpected result that these pseudomements are bounded below by $\log N$ to a power larger than $k^2\alpha^2$ when $k<1/e$ and $N$ is sufficiently large.

研究动机与目标

• 确定当 $k \leq 1/2$ 时，临界线上黎曼ζ函数 $2k$ 阶伪矩的真实数量级。
• 通过应用新的哈代–利特尔伍德不等式，改进现有伪矩的渐近估计。
• 探究已知下界 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 是否准确反映了 $k < 1/e$ 时的真实增长速率。
• 探讨哈珀、尼克格巴利与拉德日维利近期概率估计对伪矩行为的影响。

提出的方法

• 作者利用狄利克雷级数的哈代空间理论，分析临界线上 $\zeta(s)$ 部分和的 $L^{2k}$-范数。
• 他们应用从这些哈代空间结构中导出的新哈代–利特尔伍德不等式，对伪矩进行下界估计。
• 采用哈珀、尼克格巴利与拉德日维利近期工作的概率技术，估计 $\zeta(s)$ 部分和的典型大小。
• 分析聚焦于临界线 $\Re(s) = 1/2$，该线是 $\zeta(s)$ 行为最复杂且与黎曼猜想密切相关之处。
• 该方法涉及将部分和的 $L^{2k}$-范数与它们 $2k$ 阶矩的期望值进行比较，后者被解释为伪矩。
• 作者通过矩比较与尾部估计，推导出一个增长快于 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 的下界，适用于 $k < 1/e$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k < 1/e$ 时，已知下界 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 是否准确反映了 $2k$ 阶伪矩的真实增长速率？
• RQ2 能否通过哈代空间理论导出的新哈代–利特尔伍德不等式，改进伪矩的渐近估计？
• RQ3 当 $k \leq 1/2$ 时，$2k$ 阶伪矩的实际数量级为何，特别是对小 $k$ 值而言？
• RQ4 哈珀、尼克格巴利与拉德日维利的近期概率估计如何影响对伪矩增长的理解？

主要发现

• 当 $k < 1/e$ 且 $N$ 足够大时，$\zeta(s)$ 的 $2k$ 阶伪矩的下界超过一个大于 $(\log N)^{k^2\alpha^2}$ 的 $\log N$ 的幂次。
• 该下界的增长速度快于以往已知结果，表明小 $k$ 值下真实增长速率大于 $k^2\alpha^2$。
• 应用新哈代–利特尔伍德不等式，使伪矩的渐近估计更加精确。
• 该结果出人意料，因为它表明当 $k < 1/e$ 时，伪矩的增长速度超过此前推测的速率，挑战了早期假设。
• 分析证实，哈珀、尼克格巴利与拉德日维利的概率估计在发现此更强下界方面起到了关键作用。
• 本研究提供了证据，表明当 $k < 1/e$ 时，$k \leq 1/2$ 情形下伪矩的真实数量级大于 $k^2\alpha^2$。