[论文解读] Hardy spaces, Regularized BMO spaces and the boundedness of Calder\'on-Zygmund operators on non-homogeneous spaces

Anh Tuan Bui, Xuan Thinh Duong|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文在非齐次空间 $(X, \mu)$ 上建立了 Calderón-Zygmund 算子的有界性，将经典从 doubling 测度推广到非 doubling 测度的结果。文章引入了一种 Calderón-Zygmund 分解，证明了弱类型 $(1,1)$ 估计，并表明 Hardy 空间的对偶是正则化 BMO 空间，通过 Cotlar 型不等式得到了换位子和极大算子的有界性结果。

ABSTRACT

One defines a non-homogeneous space $(X, \mu)$ as a metric space equipped with a non-doubling measure $\mu$ so that the volume of the ball with center $x$, radius $r$ has an upper bound of the form $r^n$ for some $n> 0$. The aim of this paper is to study the boundedness of a Calderon-Zygmund operator $T$ as well as the boundedness of certain related singular integrals associated with $T$ on various function spaces on $(X, \mu)$ such as the Hardy spaces, the $L^p$ spaces and the regularized BMO spaces. This article thus extends the work of X. Tolsa \cite{T1} on the non-homogeneous space $(\mathbb R^n, \mu)$ to the setting of a general non-homogeneous space $(X, \mu)$. While our framework is similar to that of \cite{H}, we are able to obtain quite a few properties similar to those of Calderon-Zygmund operators on doubling spaces, including the following for such an operator $T$: weak type $(1,1)$ estimate, boundedness from Hardy space into $L^1$, boundedness from $L^{\infty}$ into the regularized BMO and an interpolation theorem. We also prove that the dual space of the Hardy space is the regularized BMO space, obtain a Calderon-Zygmund decomposition on the non-homogeneous space $(X, \mu)$ and use this decomposition to show the boundedness of the maximal operators in the form of Cotlar inequality as well as the boundedness of commutators of Calderon-Zygmund operators and BMO functions.

研究动机与目标

• 将 Calderón-Zygmund 算子的理论从 doubling 空间推广到非 doubling（非齐次）度量测度空间。
• 在 Hardy 空间、$L^p$ 空间和正则化 BMO 空间上建立此类算子的有界性。
• 证明非齐次空间上 Hardy 空间与正则化 BMO 空间之间的对偶关系。
• 构建适用于非齐次空间的 Calderón-Zygmund 分解。
• 推导 Cotlar 型不等式，并研究涉及 BMO 函数的换位子的有界性。

提出的方法

• 将 Calderón-Zygmund 分解适配于非齐次空间，其中测度增长受 $r^n$ 控制。
• 利用该分解证明 Calderón-Zygmund 算子的弱类型 $(1,1)$ 估计。
• 通过 duality 和插值，建立从 Hardy 空间到 $L^1$ 以及从 $L^\infty$ 到正则化 BMO 空间的有界性。
• 应用该分解推导与算子 $T$ 相关的极大算子的 Cotlar 型不等式。
• 利用分解和弱类型估计，证明当 $b$ 属于 BMO 时，换位子 $[b, T]$ 在 $L^p$ 上的有界性。
• 依赖于具有多项式增长的非 doubling 测度的结构，推广了 Tolsa 及其他人的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非齐次设定下，Calderón-Zygmund 算子是否在 Hardy 空间和 $L^p$ 空间上有界？
• RQ2 非齐次空间上 Hardy 空间的对偶空间是否为正则化 BMO 空间？
• RQ3 能否在具有多项式测度增长的非齐次空间中构造 Calderón-Zygmund 分解？
• RQ4 与 $T$ 相关的极大算子在此设定下是否满足 Cotlar 型不等式？
• RQ5 当 $b$ 属于 BMO 时，换位子 $[b, T]$ 在非齐次空间上是否为有界算子？

主要发现

• 在非齐次空间 $(X, \mu)$ 上，Hardy 空间的对偶空间是正则化 BMO 空间。
• Calderón-Zygmund 算子在非齐次空间上为弱类型 $(1,1)$。
• 算子 $T$ 在 $(X, \mu)$ 上有界映射从 Hardy 空间 $H^1$ 到 $L^1$。
• 算子 $T$ 在 $(X, \mu)$ 上有界映射从 $L^\infty$ 到正则化 BMO 空间。
• 当 $b$ 属于 BMO 时，换位子 $[b, T]$ 在 $L^p$ 上有界，其中 $1 < p < \infty$。
• 在非齐次空间上存在 Calderón-Zygmund 分解，从而可证明与极大算子相关的 Cotlar 型不等式。