[论文解读] Harmonic Analysis and Gamma Functions on Symplectic Groups

Dihua Jiang, Zhilin Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文在 $p$-进局部域上对辛群 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 及其推广 $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 建立了新的调和分析，利用倍积法与格拉斯曼流形的紧化构造傅里叶算子与基本函数，从而实现朗兰兹 $\gamma$-函数与 $L$-函数。关键结果是：在施瓦茨空间中构造出唯一一个 $K$-不变的基本函数，该函数在傅里叶算子下不变，且其 zeta 积分等于标准 $L$-函数。

ABSTRACT

Over a $p$-adic local field $F$ of characteristic zero, we develop a new type of harmonic analysis on an extended symplectic group $G={\mathbb G}_m imes{\mathrm Sp}_{2n}$. It is associated to the Langlands $γ$-functions attached to any irreducible admissible representations $χ\otimesπ$ of $G(F)$ and the standard representation $ρ$ of the dual group $G^\vee({\mathbb C})$, and confirms a series of the conjectures in the local theory of the Braverman-Kazhdan proposal for the case under consideration. Meanwhile, we develop a new type of harmonic analysis on ${ m GL}_1(F)$, which is associated to a $γ$-function $β_ψ(χ_s)$ (a product of $n+1$ certain abelian $γ$-functions). Our work on ${ m GL}_1(F)$ plays an indispensable role in the development of our work on $G(F)$. These two types of harmonic analyses both specialize to the well-known local theory developed in Tate's thesis when $n=0$. The approach is to use the compactification of ${ m Sp}_{2n}$ in the Grassmannian variety of ${ m Sp}_{4n}$, with which we are able to utilize the well developed local theory of Piatetski-Shapiro and Rallis and many other works) on the doubling local zeta integrals for the standard $L$-functions of ${ m Sp}_{2n}$. The method can be viewed as an extension of the work of Godement-Jacquet for the standard $L$-function of ${ m GL}_n$ and is expected to work for all classical groups. We will consider the archimedean local theory and the global theory in our future work.

研究动机与目标

• 在 $p$-进域上对 $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 发展新的调和分析，将塔特论文推广至高秩群。
• 通过 zeta 积分与傅里叶算子，实现 $\chi \otimes \pi$ 的朗兰兹 $\gamma$-函数与标准 $L$-函数。
• 确认辛群上局部 $L$-函数理论的布拉夫曼-卡兹丹猜想。
• 通过皮亚捷茨基-沙皮罗-拉里斯倍积理论，将古德曼-贾奎特方法推广至经典群。
• 在施瓦茨空间中构造一个在傅里叶算子下不变的基本函数 $\mathbb{L}_\rho$，且其 zeta 积分等于标准 $L$-函数。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 在 $\mathrm{Sp}_{4n}$ 的格拉斯曼流形中的紧化，将倍积 zeta 积分与标准 $L$-函数关联起来。
• 应用皮亚捷茨基-沙皮罗与拉里斯关于 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 倍积 zeta 积分的局部理论，定义 $\gamma$-函数与 $L$-函数。
• 在 $\mathrm{GL}_1(F)$ 上引入一个新的 $\gamma$-函数 $\beta_\psi(\chi_s)$，其为 $n+1$ 个阿贝尔 $\gamma$-函数的乘积。
• 在施瓦茨空间 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 上定义傅里叶算子 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$，并证明其与 intertwining 算子 $\mathrm{M}_{w_\Delta}^\dagger(s,\chi,\psi)$ 兼容。
• 利用梅林反演公式与 $K$-不变截面的唯一性，构造施瓦茨空间 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 中的基本函数 $\mathbb{L}_\rho$。
• 建立施瓦茨空间 $\mathcal{S}^\pm_{\mathrm{pvs}}(F^\times)$ 的 Paley-Wiener 定理，以确保 zeta 积分的收敛性与解析性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $\mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 上发展调和分析，使得 zeta 积分能实现标准 $L$-函数？
• RQ2 $\mathrm{GL}_1(F)$ 上的 $\gamma$-函数 $\beta_\psi(\chi_s)$ 在扩展群的调和分析中起什么作用？
• RQ3 在 $L$-函数的背景下，傅里叶算子 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$ 如何与 intertwining 算子 $\mathrm{M}_{w_\Delta}^\dagger(s,\chi,\psi)$ 相互作用？
• RQ4 能否在施瓦茨空间 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 中构造一个 $K$-不变的基本函数 $\mathbb{L}_\rho$，使得其 zeta 积分等于标准 $L$-函数？
• RQ5 基本函数 $\mathbb{L}_\rho$ 是否在傅里叶算子 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$ 的作用下保持不变？

主要发现

• 在施瓦茨空间 $\mathcal{S}_\rho(G)$ 中存在唯一一个 $K_G$-不变的基本函数 $\mathbb{L}_\rho$，使得 zeta 积分 $\mathcal{Z}(s, \mathbb{L}_\rho, \varphi_\circ)$ 等于标准 $L$-函数 $L(s, \chi \otimes \pi, \rho)$。
• 傅里叶算子 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}$ 保持基本函数 $\mathbb{L}_\rho$ 不变，即 $\mathcal{F}_{\rho,\psi}(\mathbb{L}_\rho) = \mathbb{L}_\rho$，确认其在傅里叶变换下的不变性。
• $\mathbb{L}_\rho$ 的构造依赖于诱导表示 $\mathrm{I}^\dagger(s,\chi)$ 中唯一的 $K_\Delta$-不变截面 $b_{2n}(s,\chi) f_{\chi_s}^\circ$，该截面通过倍积 zeta 积分对应于 $L$-函数。
• $\mathrm{GL}_1(F)$ 上的 $\gamma$-函数 $\beta_\psi(\chi_s)$ 被证明是 $n+1$ 个阿贝尔 $\gamma$-函数的乘积，其函数方程通过纤维积分与 intertwining 算子建立。
• 当 $n = 0$ 时，$G = \mathbb{G}_m \times \mathrm{Sp}_{2n}$ 上的调和分析退化为塔特论文，确认与经典理论的一致性。
• 该方法将古德曼-贾奎特方法推广至经典群，且预期可通过相同的紧化与倍积框架推广至所有经典群。