[论文解读] Harmonic analysis of weighted $L^p$-algebras

Yulia Kuznetsova, Carine Molitor–Braun|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文研究了在多项式增长的局部紧、紧生成群上加权 $L^p$-代数的调和分析性质。它确立了 $L^p(G, \omega)$ 构成巴拿赫 $*$-代数的条件，并证明了此类代数的对称性、泛函演算的存在性以及弱维纳性质，关键结果包括不可约表示的存在性及所构造代数的非正则性。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact, compactly generated group of polynomial growth and let $ω$ be a weight on $G$. Under proper assumptions on the weight $ω$, the Banach space $L^p(G,ω)$ is a Banach \ast-algebra. In this paper we give examples of such weighted $L^p$-algebras and we study some of their harmonic analysis properties, such as symmetry, existence of functional calculus, regularity, weak Wiener property, Wiener property, existence of minimal ideals of a given hull.

研究动机与目标

• 研究局部紧、紧生成的多项式增长群 $G$ 上加权 $L^p$-代数 $L^p(G, \omega)$ 的调和分析性质。
• 确定权重 $\omega$ 的条件，使得 $L^p(G, \omega)$ 成为巴拿赫 $*$-代数。
• 分析这些代数中对称性、正则性、弱维纳性质、维纳性质以及给定核的极小理想的存在性。
• 构造此类代数的显式例子，并通过谱分析证明其非正则性。
• 建立某些加权 $L^p$-代数在 $\mathbb{R}$ 上存在无穷维不可约表示。

提出的方法

• 利用 $G$ 上的次乘性和对称权重 $\omega$ 定义加权 $L^p$-空间 $L^p(G, \omega)$，其范数为 $\|f\|_{p,\omega} = \left(\int_G |f(x)|^p \omega(x)^p dx\right)^{1/p}$。
• 应用 $\omega$ 为次乘性且满足 $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ 对所有 $\varepsilon > 0$ 成立的条件，以确保代数是对称的。
• 构造表示 $U(f) = \int_{\mathbb{R}} e^{xT} f(x) dx$，其中 $f \in L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$，并证明其连续性和同态性质。
• 通过证明 $U$ 的任意闭不变子空间也必为算子 $T$ 的不变子空间，从而证明该表示的拓扑不可约性。
• 利用 $\|T^n\|$ 的渐近估计，证明 $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ 对所有 $\varepsilon > 0$ 成立，从而根据已知定理推导出对称性。
• 通过证明 $\omega(x) > C \exp(x / \ln x)$，表明所构造的代数不满足正则性条件，从而证明其非正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种权重 $\omega$ 条件下，局部紧、紧生成的多项式增长群 $G$ 上的 $L^p(G, \omega)$ 成为巴拿赫 $*$-代数？
• RQ2 加权 $L^p$-代数 $L^p(G, \omega)$ 是否满足弱维纳性质或维纳性质？
• RQ3 能否为 $\mathbb{R}$ 上的加权 $L^p$-代数构造一个无穷维不可约表示？
• RQ4 在给定的权重条件下，加权 $L^p$-代数 $L^p(\mathbb{R}, \omega)$ 是否对称？
• RQ5 所构造的加权 $L^p$-代数是否正则？其权重 $\omega$ 的增长行为如何？

主要发现

• 当 $\omega$ 是紧生成、局部紧的多项式增长群 $G$ 上的正、对称、次乘性权重时，加权 $L^p$-代数 $L^p(G, \omega)$ 是巴拿赫 $*$-代数。
• 对任意 $\varepsilon > 0$，权重 $\omega(x)$ 满足 $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ 当 $x \to \infty$，这表明代数 $L^1(\mathbb{R}, \omega)$ 和 $L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$ 是对称的。
• 在 $L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$ 上存在一个无穷维不可约表示 $U$，定义为 $U(f) = \int_{\mathbb{R}} e^{xT} f(x) dx$，其中 $T$ 是一个有界算子，且对充分大的 $n$ 满足 $\|T^n\| < \varepsilon^n$。
• 该表示 $U$ 是拓扑不可约的，因为 $U$ 的任意闭不变子空间也必为 $T$ 的不变子空间，从而迫使该子空间平凡。
• 所构造的代数是非正则的，因为权重满足 $\omega(x) > C \exp(x / \ln x)$，违反了正则性条件 $\omega(x) = \mathcal{O}(\exp(\varepsilon|x|))$ 的统一性。
• 由于权重 $\omega_1$ 的对称性和增长控制，代数 $L^p(\mathbb{R}, \omega_1)$ 满足弱维纳性质和维纳性质。