[论文解读] Harmonic bundles on quasi-compact Kähler manifolds

Jürgen Jost, Jiayu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过求解赫尔米特-杨-Mills方程，在拟紧凯勒流形的约化表示模空间上建立了 C^*-作用，从而得到一族拟射影流形的非交换霍奇 (p,q)-型定理，并证明了秩大于1且非霍奇类型的李群的离散子群不能是此类流形的基本群。

ABSTRACT

We define the C^*-action on moduli spaces of reductive representations of fundamental groups of quasi-compact Kaehler manifolds by solving Hermitian-Yang-Mills equation. As applications in algebraic geometry we show a non-abelian Hodge (p,q)-type theorem for families of quasi-projective manifolds. We also prove that any discrete sub group of a Lie group of rank >1 that is not of Hodge type can't be the fundamental group of a quasi-compact Kaehler manifold.

研究动机与目标

• 在拟紧凯勒流形的基本群的约化表示模空间上定义 C^*-作用。
• 利用该作用建立一族拟射影流形的非交换霍奇 (p,q)-型定理。
• 刻画哪些李群的离散子群可作为拟紧凯勒流形的基本群出现。
• 将非交换霍奇理论扩展到拟紧凯勒流形的设定，特别是族的情形。
• 证明拟紧凯勒流形基本群的限制：非霍奇类型且秩大于1的离散子群不能出现。

提出的方法

• 在拟紧凯勒流形上的向量丛上求解赫尔米特-杨-Mills方程，以构造模空间上的 C^*-作用。
• 利用赫尔米特-杨-Mills方程的解，将稳定希格斯丛与基本群的约化表示联系起来。
• 将非交换霍奇理论应用于一族拟射影流形，以推导 (p,q)-型分解。
• 通过 C^*-作用分析表示的霍奇理论性质，以检测其作为基本群的障碍。
• 利用李群结构和秩条件对拟紧凯勒流形可能的基本群进行分类。
• 通过调和丛、希格斯丛与约化表示之间的相互作用，建立主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在拟紧凯勒流形的约化表示模空间上定义 C^*-作用？
• RQ2 在此设定下，一族拟射影流形的非交换霍奇理论结构如何显现？
• RQ3 哪些李群的离散子群可作为拟紧凯勒流形的基本群出现？
• RQ4 对于秩大于1的李群的离散子群，存在何种障碍使其无法实现为拟紧凯勒流形的基本群？
• RQ5 赫尔米特-杨-Mills方程的解如何促进 C^*-作用的构造及由此产生的定理？

主要发现

• 通过拟紧凯勒流形上赫尔米特-杨-Mills方程的解，在约化表示模空间上构造了 C^*-作用。
• 利用该框架，建立了族拟射影流形的非交换霍奇 (p,q)-型定理。
• 任何秩大于1且非霍奇类型的李群的离散子群，都不能是拟紧凯勒流形的基本群。
• 赫尔米特-杨-Mills方程的解为此类情境下希格斯丛与约化表示的联系提供了必要的分析工具。
• C^*-作用使对拟紧凯勒流形基本群的霍奇理论约束有了更深入的理解。
• 结果将经典非交换霍奇理论扩展到拟紧设定，特别是对一族拟射影概形的情形。