[论文解读] Harmonic Centrality in Some Graph Families

Jose Mari E. Ortega, Rolito G. Eballe|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2021

Complex Network Analysis Techniques参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过使用归一化为图阶数的最短路径距离倒数，推导出路径、环、轮、星形和棱柱等关键图族的调和中心性的闭式表达式。研究表明，即使在网络不连通或稀疏时，调和中心性也能有效量化节点重要性，通过对称图利用调和数和距离求和精确推导出结果。

ABSTRACT

One of the more recent measures of centrality in social network analysis is the normalized harmonic centrality. A variant of the closeness centrality, harmonic centrality sums the inverse of the geodesic distances of each node to other nodes where it is 0 if there is no path from one node to another. It is then normalized by dividing it by m-1, where m is the number of nodes of the graph. In this paper, we present notions regarding the harmonic centrality of some important classes of graphs.

研究动机与目标

• 建立常用于网络建模的基本图族的精确调和中心性值。
• 通过利用调和中心性在不连通或稀疏图中的鲁棒性，解决传统中心性度量的局限性。
• 提供解析表达式，以在对称和结构化网络中实现高效的中心性计算。
• 将调和中心性的适用范围扩展到书图、头盔图和棱柱图等复杂图类型。
• 通过调和中心性表征基本构建模块，为分析更大规模真实网络提供基础。

提出的方法

• 计算每个顶点到其余所有顶点的测地距离倒数之和，当无路径存在时将倒数设为零。
• 通过除以 (m − 1) 对和进行归一化，其中 m 为顶点数，以生成归一化的调和中心性值。
• 应用调和数公式 Hn = Σ(k=1 到 n) 1/k，以简化对称图中基于距离的求和。
• 利用图族（如环、星形、笛卡尔积）中的结构对称性和距离模式，推导出闭式表达式。
• 基于对称性对顶点集进行分段（例如，路径中的端点与内部顶点），以计算不同的中心性值。
• 根据奇偶性（奇数/偶数 m）对棱柱和轮图等图进行案例分析，导出分段表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 路径图 Pm 中顶点的调和中心性是多少，端点与内部顶点的值有何差异？
• RQ2 在轮图、冠图和棱柱图等基于环的图中，调和中心性如何表现，尤其当 m 为奇数或偶数时？
• RQ3 星形图、书图和头盔图的精确调和中心性值是多少，中心节点与外围节点的值有何不同？
• RQ4 归一化过程如何影响不同连通性图中中心性的解释？
• RQ5 能否为如梯形图、书图和棱柱图等笛卡尔积图推导出调和中心性的闭式表达式？

主要发现

• 对于路径图 Pm，端点（i=1 或 m）的调和中心性为 (2Hm−1 + 1/m)/(2m−1)，而内部顶点 i（1 < i < m）的中心性为 (2(Hi−1 + Hm−i) + 1/i + 1/(m−i+1) −1)/(2m−1)。
• 在完全二部图 Km,n 中，调和中心性为 (2Hn + 2Hm − 2)/(m+n−1)，显示出对两个部分的对称依赖。
• 对于星形图 Sm，中心顶点的调和中心性为 1，而外围顶点的中心性为 (m+1)/(2m)。
• 在书图 Bm 中，中心顶点（u0,vj）的中心性为 (3m+2)/(4m+2)，而外围顶点（ui,vj）的中心性为 (5(m+2))/(6(2m+1))。
• 对于头盔图 Hm，中心顶点 u0 的中心性为 3/4，内部环上顶点 ui（1≤i≤m）的中心性为 (5m+15)/(12m)，悬挂顶点 vj 的中心性为 (7m+17)/(24m)。
• 在棱柱图 Ym 中，调和中心性取决于 m 的奇偶性：当 m 为奇数时，其值为 (4H(m−1)/2 − (m−3)/(m+1))/(2m−1)；当 m 为偶数时，其值为 (4Hm/2 + 2/(m+2) − (m+2)/m)/(2m−1)。