[论文解读] Harmonic Maass-Jacobi forms with singularities and a theta-like decomposition

Kathrin Bringmann, Martin Raum+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文引入了一类带有奇点的调和Maass-Jacobi形式的新空间，扩展了Zwegers关于实解析Jacobi形式的工作。通过定义被Casimir算子和Heisenberg拉普拉斯算子所 annihilated 的H-调和Maass-Jacobi形式，并利用微分算子ξ^H和ξ，作者建立了一个类似theta的分解，将形式划分为解析部分与非解析部分，从而提供了包含奇点的完整结构理论。

ABSTRACT

Real-analytic Jacobi forms play key roles in different areas of mathematics and physics, but a satisfactory theory of such Jacobi forms has been lacking. In this paper, we fill this gap by introducing a space of harmonic Maass-Jacobi forms with singularities which includes the real-analytic Jacobi forms from Zwegers's PhD thesis. We provide several structure results for the space of such Jacobi forms, and we employ Zwegers's $\widehatμ$-functions to establish a theta-like decomposition.

研究动机与目标

• 为解决实解析Jacobi形式，特别是Zwegers的μ-函数这类带有奇点的形式，缺乏全面理论的问题。
• 将调和Maass-Jacobi形式的定义扩展至包含奇点，克服先前研究中排除此类形式的局限性。
• 利用微分算子ξ^H和ξ，为这些新形式建立结构理论，实现其向解析与非解析分量的分解。
• 为完整H-拟Maass-Jacobi形式提供类似theta的分解，推广已知的弱解析与调和Maass形式结果。

提出的方法

• 引入空间 $\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$，即被Casimir算子 $\mathcal{C}_{k,m}$ 和Heisenberg拉普拉斯算子 $\Delta^{\mathrm{H}}_m$ 所 annihilated 的H-调和Maass-Jacobi形式。
• 定义微分算子 $\xi^{\mathrm{H}}_{k,m}$ 和 $\xi_{k,m}$，作为Bruinier与Funke的 $\xi_k$ 的类比，通过消除非解析部分来简化形式的结构。
• 利用算子 $Y_+$ 和 $Y_-$ 构造完整H-拟Maass-Jacobi形式（深度为 $D$）的滤子，实现归纳式分解。
• 证明任意深度为 $D$ 的完整H-拟Maass-Jacobi形式可分解为 $\phi = \sum_{d=0}^{D-1} Y_+^d(\phi_d)$，其中 $\phi_d \in \mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k-d,m}$，从而建立类似theta的分解。
• 利用 $Y_+^{\mathrm{sk}}$、$Y_-^{\mathrm{sk}}$ 与复共轭之间的对偶性与共轭关系，将结果推广至斜-Maass-Jacobi形式。
• 应用 $\xi^{\mathrm{H}}$-算子，将形式从 $\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$ 提升至 $\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$，从而实现对一般形式的分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何建立一个一致的实解析Jacobi形式奇点理论，特别是包含Zwegers的 $\widehat{\mu}$-函数？
• RQ2 当调和Maass-Jacobi形式被要求同时被Casimir算子与Heisenberg拉普拉斯算子所 annihilated 时，会涌现出何种结构？
• RQ3 能否为完整H-拟Maass-Jacobi形式建立类似theta的分解，类似于调和弱Maass形式的情况？
• RQ4 微分算子 $\xi^{\mathrm{H}}_{k,m}$ 与 $\xi_{k,m}$ 如何简化H-调和Maass-Jacobi形式的结构？
• RQ5 空间 $\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$、$\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$ 与 $\mathcal{M}\mathrm{J}^{\delta,\mathrm{h}}_{k,m}$ 之间的确切关系是什么？它们如何分解？

主要发现

• 空间 $\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k,m}$ 包含Zwegers的 $\widehat{\mu}$-函数，且在Heisenberg拉普拉斯算子与Casimir算子作用下保持封闭。
• 任何不带奇点的 $\mathrm{H}$-调和Maass-Jacobi形式，若被 $\xi^{\mathrm{H}}_{k,m}$ 所 annihilated，则为半解析形式，即在Jacobi变量 $z$ 上为解析函数。
• 空间 $\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$ 可分解为 $\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m} \oplus \mathcal{M}\mathrm{J}^{\delta,\mathrm{h}}_{k,m}$，表明其为解析与非解析部分的直和分解。
• 每个深度为 $D$ 的完整 $\mathrm{H}$-拟Maass-Jacobi形式均存在分解 $\phi = \sum_{d=0}^{D-1} Y_+^d(\phi_d)$，其中 $\phi_d \in \mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k-d,m}$，从而确立了类似theta的分解。
• 所有权重 $k$ 与指标 $m$ 的完整 $\mathrm{H}$-拟Maass-Jacobi形式的空间，同构于 $\bigoplus_{d=0}^{\infty} Y_+^d\big{(}\mathcal{M}\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{H}}_{k-d,m}\big{)}$，推广了经典theta分解。
• 当 $m < 0$ 时，空间 $\mathrm{J}^{\Delta,\mathrm{h}}_{k,m}$ 与 $\mathrm{J}^{\delta,\mathrm{h}}_{k,m}$ 均为平凡空间，表明在负指标下非奇异H-调和形式的存在受到强烈约束。