[论文解读] Harmonic Magnus Expansion on the Universal Family of Riemann Surfaces

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|Mar 7, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 21

一句话总结

本文引入了调和 Magnus 展开式——这是在带有标记点和切向量的 genus-$g$ 黎曼曲面的全族上，周期矩阵的高阶类比——通过 Chen 的重积分。它构造了一个平联络，其单值表示了所有高阶 Johnson 同态，并推导出表示扭曲 Morita-Mumford 类的典范微分形式，其组合参数化由 Stasheff 关联单纯形给出。

ABSTRACT

Let ${\mathbb M}_{g, 1}$, $g \geq 1$, be the moduli space of triples $(C, P_0, v)$ of genus $g$, where $C$ is a compact Riemann surface of genus $g$, $P_0 \in C$, and $v \in T_{P_0}C\setminus\{0\}$. Using Chen's iterated integrals we introduce a higher analogue of the period matrix for a triple $(C, P_0, v)$, {\it the harmonic Magnus expansion}. It induces a flat connection on a vector bundle over the space ${\mathbb M}_{g, 1}$, whose holonomy gives all the higher Johnson homomorphisms of the mapping class group. The connection form, which is computed as an explicit quadratic differential, induces "canonical" differential forms representing (twisted) Morita-Mumford classes and their higher relators on ${\mathbb M}_{g, 1}$. In particular, we construct a family of twisted differential forms on ${\mathbb M}_{g, 1}$ representing the $(0, p+2)$-twisted Morita-Mumford class $m_{0, p+2}$ combinatorially parametrized by the Stasheff associahedron $K_{p+1}$.

研究动机与目标

• 在黎曼曲面的模空间 $\mathbb{M}_{g,1}$ 上构造表示扭曲 Morita-Mumford 类的典范微分形式。
• 利用 Chen 的重积分，将经典周期矩阵推广，定义一个高阶类比，即调和 Magnus 展开式。
• 通过调和 Magnus 展开式导出的平联络的单值，实现映射类群的所有高阶 Johnson 同态。
• 证明 $(0,p+2)$-扭曲 Morita-Mumford 类 $m_{0,p+2}$ 在 $p$-上链复形中通过 Stasheff 关联单纯形 $K_{p+1}$ 进行组合参数化。
• 在不依赖双曲度量或周期矩阵的前提下，显式构造表示 $e_i$ 类的微分形式。

提出的方法

• 使用 Chen 的重积分，在 $\mathbb{M}_{g,1}$ 上的向量丛上定义调和 Magnus 展开式为平联络。
• 在 Stasheff 关联单纯形 $K_{p+1}$ 的胞腔上同调复形中构造一个取值于 $\mathbb{M}_{g,1}$ 的扭曲 de Rham 复形的 $p$-上链 $\theta^*Y_p$。
• 依赖于 $H^1(C\setminus\{P_0\}; \mathbb{R})$ 与曲面 $\Sigma_g$ 的第一同调 $H$ 的识别，并赋予其辛结构。
• 利用调和体积 $I_C$ 的一阶变分作为关键的 1-形式 $\eta_1^U$，其对应于一阶的调和 Magnus 展开式。
• 通过将 $p$-上链与 $H$ 上的交积形式收缩，推导出表示 $m_{0,p+2}$ 的微分形式。
• 利用关系 $\mathfrak{p}^H N(\omega'\omega')_{(3)} = 2\mathfrak{p}^H N(\omega'_1 \omega'_2)$ 及在 $P_0$ 处的光滑性，确保联络形式的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个捕捉所有高阶 Johnson 同态的周期矩阵的高阶类比？
• RQ2 $(0,p+2)$-扭曲 Morita-Mumford 类 $m_{0,p+2}$ 的几何与拓扑意义，其在组合结构中的含义是什么？
• RQ3 高阶 Johnson 映射 $\tau_s^\theta$（$s \geq 2$）之间的关系如何在 $\mathbb{M}_{g,1}$ 的上同调中体现？
• RQ4 能否在不使用双曲度量或 Siegel 模形式的前提下，构造出表示所有 Morita-Mumford 类的典范微分形式？
• RQ5 Stasheff 关联单纯形 $K_{p+1}$ 与 $m_{0,p+2}$ 类的参数化之间存在何种关系？

主要发现

• 调和 Magnus 展开式通过 Chen 的重积分定义，并在 $\mathbb{M}_{g,1}$ 上的向量丛上诱导一个平联络，其单值实现了所有高阶 Johnson 同态。
• $K_{p+1}$ 的胞腔上同调复形中的 $p$-上链 $\theta^*Y_p$ 在自然的上同调群同构下表示 $\frac{1}{(p+2)!}(-1)^{\frac{1}{2}p(p+1)}m_{0,p+2}$。
• 联络形式被显式计算为一个二次微分形式，其曲率给出了表示扭曲 Morita-Mumford 类的典范微分形式。
• 调和体积 $I_C$ 的一阶变分与 1-形式 $\eta_1^U$ 一致，后者在双曲对称曲面族 $\mathcal{H}_g$ 上消失，意味着所有由此导出的表示 $e_i$ 的形式也在该处消失。
• 表示第一个 Morita-Mumford 类的形式 $e_1^J$ 来自 $\alpha_1^* (\theta^* \eta_1^U \otimes \theta^* \eta_1^U)$，并满足 $e_1^J = e_1^F - 12c_1(\lambda, L^2)$，其中包含一个校正项。
• 调和 Magnus 联络的曲率在 $\mathbb{C}_g$ 上产生一个 2-形式 $e^J$，通过 $\frac{1}{2\pi i} \partial\bar\partial h|_{\text{对角线}} = e^J + \frac{1}{(2-2g)^2}(e_1^F - e_1^J)$ 与 Arakelov 的可适度量相关联。