[论文解读] Harmonic maps and representations of non-uniform lattices of PU(m,1)

Vincent Koziarz, Julien Maubon|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2003

Advanced Algebra and Geometry被引用 12

一句话总结

本文通过构造从复双曲空间 H^m_C 到 H^n_C 的有限能量调和等变映射，建立了 PU(m,1) 中非一致格的表示在 PU(n,1) 中刚性性的微分几何证明。关键结果是：最大 Burger-Iozzi 不变量意味着表示为 C-Fuchsian，将 Toledo 的结果推广至非一致格，并为负欧拉示性数的曲面群提供了新不变量。

ABSTRACT

We study representations of lattices of PU(m,1) into PU(n,1). We show that if a representation is reductive and if m is at least 2, then there exists a finite energy harmonic equivariant map from complex hyperbolic m-space to complex hyperbolic n-space. This allows us to give a differential geometric proof of rigidity results obtained by M. Burger and A. Iozzi. We also define a new invariant associated to representations into PU(n,1) of non-uniform lattices in PU(1,1), and more generally of fundamental groups of orientable surfaces of finite topological type and negative Euler characteristic. We prove that this invariant is bounded by a constant depending only on the Euler characteristic of the surface and we give a complete characterization of representations with maximal invariant, thus generalizing the results of D. Toledo for uniform lattices.

研究动机与目标

• 为 PU(m,1) 中非一致格表示的刚性性提供 bounded cohomology 的微分几何替代方法。
• 为负欧拉示性数曲面的基本群到 PU(n,1) 的表示定义新不变量 τ(ρ)。
• 刻画实现该不变量最大值的表示，将 Toledo 的结果推广至非一致格之外。
• 证明最大不变量意味着表示为 C-Fuchsian，即在 H^n_C 中稳定一个全测地的 H^m_C 的副本。

提出的方法

• 对 PU(m,1) 中非一致格的约化表示 ρ（m≥2），构造从 H^m_C 到 H^n_C 的有限能量 ρ-等变调和映射。
• 将 Burger-Iozzi 不变量 τ(ρ) 定义为 H^n_C 上的凯勒形式在 Γ\H^m_C 商空间上的拉回形式与该商空间上凯勒形式的 L^2 积分。
• 利用截断函数和在尖点邻域附近的凯勒势函数处理非紧致商空间，并通过在基本域上积分来计算不变量。
• 利用复共轭与双曲等距下的对称性与等变性，关联对覆盖上的积分，建立不变性性质。
• 应用调和映射的存在性，推导出最大 τ(ρ) 意味着存在到 H^n_C 的 ρ-等变等距嵌入。
• 利用有限能量调和映射在约化表示下存在的事实，将刚性问题约化为对对称空间的几何分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，PU(m,1) 中非一致格的表示 ρ 到 PU(n,1) 允许存在到 H^n_C 的有限能量调和 ρ-等变映射？
• RQ2 对负欧拉示性数曲面群的表示，Burger-Iozzi 不变量 τ(ρ) 的几何意义是什么？
• RQ3 τ(ρ) 的最大值能否被刻画？它是否意味着表示为 C-Fuchsian？
• RQ4 有限能量调和映射的存在性是否意味着 ρ 的像在 H^n_C 中稳定一个全测地的 H^m_C 副本？
• RQ5 新不变量 τ(ρ) 在覆盖构造（如曲面群表示的加倍）下行为如何？

主要发现

• 对任意 m≥2 的 PU(m,1) 中非一致格的约化表示 ρ 到 PU(n,1)，存在从 H^m_C 到 H^n_C 的有限能量 ρ-等变调和映射。
• Burger-Iozzi 不变量 τ(ρ) 的上界为 Vol(Γ\H^m_C)，且等号成立当且仅当 ρ 为 C-Fuchsian。
• 对负欧拉示性数的曲面群，不变量 τ(ρ) 的上界仅依赖于欧拉示性数，且当表示为统一化表示时达到最大值。
• 对双重覆盖表示，不变量 τ(2ρ) 满足 τ(2ρ) = -2πχ(2M)，确认了最大性并意味着存在 ρ-等变等距。
• 调和映射的构造提供了刚性性的微分几何证明，替代了早期工作中使用的有界上同调技术。
• 本文将 Toledo 的最大不变量刻画推广至非一致格与曲面群，建立了最大性的完整几何准则。