[论文解读] Harmonic maps into Grassmannian manifolds

Yasuyuki Nagatomo|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过引入带有Laplace算子和平均曲率算子的向量丛框架，将Takahashi关于映射到球面的调和映射定理推广到映射到Grassmannian流形的调和映射。关键贡献在于通过拉回商丛截面上的Laplacian的零性质表征调和映射，从而得到刚性结果并构造了复二次曲面中全纯等距嵌入的模空间。

ABSTRACT

A harmonic map from a Riemannian manifold into a Grassmannian manifold is characterized by a vector bundle, a space of sections of this bundle and a Laplace operator. We apply our main theorem, itself a generalization of a Theorem of Takahashi, to generalize the theory of do Carmo and Wallach and to describe the moduli space of harmonic maps satisfying the gauge and the Einstein-Hermitian conditions from a compact Rieannian manifold into a Grassmannian. As an application, several rigidity results are exihibited. In particular we generalize a rigidity theorem due to Calabi in the case of holomorphic isometric immersions of compact Kaehler manifolds into complex projective spaces. Finally, we also construct moduli spaces of holomorphic isometric embeddings of the complex projective line into complex quadrics of low degree.

研究动机与目标

• 将Takahashi关于映射到球面的调和映射定理推广到映射到Grassmannian流形的调和映射。
• 通过拉回通用商丛截面上Laplacian的零性质表征调和映射。
• 通过规范和Einstein-Hermitian条件推广do Carmo与Wallach关于极小浸入的理论。
• 构造复射影直线到低次复二次曲面的全 holomorphic 等距嵌入的模空间。
• 通过ADHM构造和twistor理论将调和映射的几何与线性代数结构联系起来。

提出的方法

• 将平均曲率算子A定义为拉回丛f*Q → M上第二基本形式复合的迹。
• 在W的截面中定义Laplacian的零性质，其中f*Q的截面被识别为W的元素。
• 利用Gauss–Codazzi方程计算三个泛函（能量、Yang–Mills和A的L²-范数）的Euler–Lagrange方程。
• 应用Einstein–Hermitian条件（即A与单位阵成比例）来表征极值映射。
• 利用Borel–Weil定理和Penrose变换将全纯截面空间与Sp(2)的表示联系起来。
• 利用极分解和像等价性将模空间描述为商空间，例如M₂ = M₂/S¹ = [0,1]。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以拉回商丛截面上的Laplacian表达时，光滑映射f:M→Gr_p(W)在何种条件下是调和的？
• RQ2 规范条件与Einstein–Hermitian条件如何约束从紧致黎曼流形到Grassmannian的调和映射的模空间？
• RQ3 复二次曲面度数为2时，CP¹的全纯等距嵌入的模空间结构如何？
• RQ4 在S⁴上的瞬子背景下，ADHM构造如何与调和映射及twistor变换相关联？
• RQ5 从具有有限维截面空间的全纯向量丛诱导的映射能否被表征为调和映射？在何种条件下成立？

主要发现

• 光滑映射f:M→Gr_p(W)是调和的，当且仅当每个截面t∈W满足Δt = -At，且|df|² = -trace A。
• CP¹到Gr₄(ℝ⁶)的度数为2的全纯等距嵌入的模空间M₂同胚于[0,1]，作为S¹作用的商空间得到。
• 从S⁴上的tautological丛诱导的映射f₀:M→Gr₂(ℂ⁴)是刚性的，无法在满足规范和Einstein–Hermitian条件的条件下作为调和映射进行形变。
• 定义为平均曲率算子A的L²-范数的泛函具有与映射总能量相关的下界。
• 通过ADHM方法构造的1-瞬子，当C=0时，诱导映射f:M→Gr₂(ℂ⁴)恢复标准映射，但当C≠0时不同，尽管拉回联络仍保持自对偶。
• 线性方程如(Δ+A)t=0和Dα=0是模空间描述的基础，使得调和映射能够通过线性代数方法进行分类。