[论文解读] Harmonic maps of punctured surfaces to the hyperbolic plane

Andy Huang|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文从亏格 $ g \geq 0 $ 的单极点黎曼曲面构造了到双曲平面 $ \mathbb{H}^2 $ 中偶数边正则理想多边形的多项式增长调和映射，通过具有一个 $ k+2 $ 阶极点和 $ 4g + k - 2 $ 个零点的亚纯二次微分证明了其存在性与唯一性。关键贡献在于对这类映射的霍普夫微分的完整刻画，将先前关于极点球面的结果推广至高亏格曲面。

ABSTRACT

In this paper, we construct polynomial growth harmonic maps from once-punctured Riemann surfaces of any finite genus to any even-sided, regular, ideal polygon in the hyperbolic plane. We also establish their uniqueness within a class of maps which differ by exponentially decaying variations. Previously, harmonic maps from once-punctured spheres to the hyperbolic plane have been parameterized by holomorphic quadratic differentials on the complex plane. Our harmonic maps, mapping a genus g>1 domain to a k-sided polygon, correspond to meromorphic quadratic differentials having one pole of order (k+2) and (4g+k-2) zeros (counting multiplicity). In this way, we can associate to these maps a holomorphic quadratic differential on the punctured Riemann surface domain. As an example, we specialize our theorems to obtain a harmonic map from a punctured square torus to an ideal square, and deduce the five possibilities for the divisor of its Hopf differential.

研究动机与目标

• 将从极点球面构造调和映射的方法推广至映射到 $ \mathbb{H}^2 $ 中理想多边形的高亏格极点曲面。
• 建立此类调和映射与具有指定极点和零点结构的亚纯二次微分之间的对应关系。
• 证明在指数衰减变化类中这些调和映射的唯一性。
• 为从高亏格到低亏格曲面的抓握压缩调和映射提供局部模型。
• 通过提出的桥梁原理连接调和微分同胚与抓握压缩映射。

提出的方法

• 在极点曲面的紧致 exhausting 域 $ \Omega_s $ 上构造调和映射序列 $ h_s $，通过与环形区域上的降落伞映射进行比较。
• 应用 Courant-Lebesgue 引理与能量估计，控制畸变并确保序列的子列收敛。
• 以施克映射为模型，控制映射在极点附近的渐近行为，从而控制霍普夫微分的极点结构。
• 通过能量与曲率估计确保极限映射 $ h $ 不坍缩，保证其像为完整的理想多边形。
• 将极限映射的霍普夫微分 $ \Phi^h $ 与一个具有一个 $ k+2 $ 阶极点和 $ 4g + k - 2 $ 个零点的亚纯二次微分关联起来。
• 利用 Dumas-Wolf 的唯一性定理（通过霍普夫微分对保向调和映射进行唯一性证明）在指定类中确立唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造从单极点亏格 $ g \geq 1 $ 曲面到 $ \mathbb{H}^2 $ 中偶数边正则理想多边形的调和映射，且具有受控的多项式增长？
• RQ2 此类调和映射相关的霍普夫微分的精确结构是什么？
• RQ3 这些映射如何与具有单个高阶极点和多个零点的极点定义域上的全纯二次微分相关？
• RQ4 能否完全刻画从极点正方形环面到理想正方形的调和映射，包括其霍普夫微分的除子？
• RQ5 是否存在一种桥梁原理，通过叶状结构匹配将紧致曲面上的调和微分同胚与抓握压缩调和映射联系起来？

主要发现

• 对于任意单极点亏格 $ g \geq 0 $ 的曲面及任意 $ \mathbb{H}^2 $ 中的偶数边正则理想多边形 $ \mathcal{P}_k $，存在调和映射 $ h: \Sigma_g \to \mathbb{H}^2 $，其像为 $ \mathcal{P}_k $，且闭包为 $ \overline{\mathcal{P}_k} $。
• 该调和映射的霍普夫微分 $ \Phi^h $ 恰好有 $ 4g + k - 2 $ 个零点，且在极点处有一个 $ k+2 $ 阶极点。
• 根据 Dumas-Wolf 的唯一性结果，该调和映射在指数衰减变化类中是唯一的。
• 对于极点正方形环面映射到理想正方形的特殊情况，霍普夫微分的除子有五种可能的配置，对应于零点与极点的结构。
• 该构造将先前关于极点球面的结果推广，将调和映射与亚纯二次微分之间的对应关系扩展至高亏格定义域。
• 能量估计与与降落伞映射的比较确保极限映射不坍缩，并实现完整的多边形像。