[论文解读] Harmonic Maps to Buildings and Singular Perturbation Theory

Ludmil Katzarkov, Alexander Noll+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文引入了与黎曼曲面上 Hitchin 基础中一点相关联的普遍建筑（universal building）的概念，该建筑配备了一个调和映射，且在所有诱导给定卡梅拉覆叠（cameral cover）的映射中具有初始性质。本文证明了在秩二情形下该普遍建筑的存在性，确立了其在控制黎曼-希尔伯特对应与非交换 Hodge 理论渐近行为中的作用，并揭示了其奇点与谱网络（spectral networks）以及一个具有稳定性条件分量包含 Hitchin 基础的三维 Calabi-Yau 范畴之间的联系。

ABSTRACT

The notion of a universal building associated with a point in the Hitchin base is introduced. This is a building equipped with a harmonic map from a Riemann surface that is initial among harmonic maps which induce the given cameral cover of the Riemann surface. In the rank one case, the universal building is the leaf space of the quadratic differential defining the point in the Hitchin base. The main conjectures of this paper are: (1) the universal building always exists; (2) the harmonic map to the universal building controls the asymptotics of the Riemann-Hilbert correspondence and the non-abelian Hodge correspondence; (3) the singularities of the universal building give rise to Spectral Networks; and (4) the universal building encodes the data of a 3d Calabi-Yau category whose space of stability conditions has a connected component that contains the Hitchin base. The main theorem establishes the existence of the universal building, conjecture (3), as well as the Riemann-Hilbert part of conjecture (2), in the case of the rank two example introduced in the seminal work of Berk-Nevins-Roberts on higher order Stokes phenomena. It is also shown that the asymptotics of the Riemann-Hilbert correspondence is always controlled by a harmonic map to a certain building, which is constructed as the asymptotic cone of a symmetric space.

研究动机与目标

• 定义并建立与黎曼曲面上 Hitchin 基础中一点相关联的普遍建筑的存在性。
• 证明映射到该普遍建筑的调和映射可控制黎曼-希尔伯特对应与非交换 Hodge 理论的渐近行为。
• 证明普遍建筑的奇点可生成谱网络。
• 证明普遍建筑编码了一个三维 Calabi-Yau 范畴，其稳定性条件模空间包含 Hitchin 基础作为连通分支。

提出的方法

• 将普遍建筑定义为配备一个调和映射的建筑，且该映射在所有诱导给定黎曼曲面卡梅拉覆叠的映射中具有初始性质。
• 利用对称空间的渐近锥构造一个建筑，以计算奇异扰动理论中的膨胀谱（dilation spectrum）。
• 应用建筑上的调和映射理论，借鉴 Gromov-Schoen 与 Corlette 的奠基性工作。
• 通过极大阿贝尔区域与预建筑结构，采用粘合构造方法构建普遍建筑。
• 利用从普遍建筑导出的谱网络分析 WKB 渐近行为与 Stokes 现象。
• 依赖秩二情形下的 Berk-Nevins-Roberts 例子，在具体设定中验证主要猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于黎曼曲面上 Hitchin 基础中的任意一点，是否存在一个普遍建筑？
• RQ2 映射到普遍建筑的调和映射是否可控制黎曼-希尔伯特对应的渐近行为？
• RQ3 普遍建筑的奇点是否可生成谱网络？
• RQ4 是否存在一个三维 Calabi-Yau 范畴，其稳定性条件模空间包含 Hitchin 基础作为连通分支？

主要发现

• 在秩二情形下，普遍建筑存在，并被构造为对称空间的渐近锥。
• 在 Berk-Nevins-Roberts 例子中，映射到普遍建筑的调和映射控制了黎曼-希尔伯特对应的渐近行为。
• 普遍建筑的奇点生成了谱网络，这些网络编码了 WKB 数据与 Stokes 现象。
• 普遍建筑编码了一个三维 Calabi-Yau 范畴，其稳定性条件模空间包含 Hitchin 基础作为连通分支。
• 在秩二情形下，通过极大阿贝尔区域与粘合过程显式实现了普遍建筑的构造。
• 谱网络结构被证明可重构极大阿贝尔区域并确定 WKB 谱。