[论文解读] Harmonic measure for biased random walk in a supercritical Galton-Watson tree

Shen Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文研究了在超临界Galton-Watson树上的$λ$-偏向随机游走，并证明了由游走的环消除轨迹定义的$λ$-调和测度——其几乎必然具有严格大于可见测度（对应$λ=0$）的Hausdorff维数。关键结果证明了$d_\lambda > \mathbf{GW}[\log \nu]$，解决了Lyons、Pemantle和Peres提出的问题，进一步表明$λ$-调和射线上的平均后代数被限制在$m$与$m^{-1}\sum k^2 p_k$之间，且在$0 < \lambda \leq 1$时严格大于偏向游走轨迹上的平均后代数。分析基于Aïdékon方法构造平稳测度，并在随机树上应用遍历理论。

ABSTRACT

We consider random walks $λ$-biased towards the root on a Galton-Watson tree, whose offspring distribution $(p_k)_{k\geq 1}$ is non-degenerate and has finite mean $m&gt;1$. In the transient regime $0

研究动机与目标

• 为解决关于超临界Galton-Watson树上$λ$-调和测度维数的长期悬而未决问题。
• 比较$λ$-调和测度与可见测度（$\lambda=0$）的Hausdorff维数，并建立严格不等式。
• 分析$λ$-调和射线上后代数的期望，并与偏向随机游走轨迹上的后代数进行比较。
• 研究当$λ \to 0^+$和$λ \to m^-$时，$λ$-调和射线上后代数平均值的单调性与渐近行为。
• 通过Aïdékon方法在Galton-Watson树上构造调和流规则的平稳测度，并应用遍历理论推导维数结果。

提出的方法

• 通过Galton-Watson测度的Radon-Nikodým导数，借鉴Aïdékon关于游走所见环境的研究，构造树空间上的平稳且遍历的概率测度$\mu_{\mathsf{HARM}_\lambda}$。
• 将$λ$-调和射线定义为$λ$-偏向随机游走的环消除轨迹，其几乎必然收敛于$\partial\mathbb{T}$中的唯一无限边界射线。
• 在边界$\partial\mathbb{T}$上使用度量$d(\xi,\eta) = \exp(-|\xi \wedge \eta|)$定义Hausdorff维数，并分析$λ$-调和测度的维数。
• 应用遍历理论及随机树上的平稳测度理论，推导当$\lambda \to 0^+$和$\lambda \to m^-$时维数$d_\lambda$的渐近行为。
• 利用Jensen不等式和FKG不等式，比较$\mu_{\mathsf{HARM}_\lambda}$与退火测度$\mathbf{AGW}_\lambda$下$\nu(e)$和$1/\nu(e)$的期望。
• 通过研究$\int \nu(e) \mu_{\mathsf{HARM}_\lambda}(dT)$的极限并对比$\int \nu^+(e) \mathbf{AGW}_\lambda(dT,d\xi)$，分析$λ$-调和射线上后代数期望的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有$\lambda \in (0,m)$，$λ$-调和测度的Hausdorff维数是否严格大于可见测度？
• RQ2 当$\lambda \to 0^+$和$\lambda \to m^-$时，Hausdorff维数$d_\lambda$的渐近行为如何？
• RQ3 对于$0 < \lambda \leq 1$，$λ$-调和射线上后代数的期望是否严格大于$λ$-偏向随机游走轨迹上的后代数？
• RQ4 作为$\lambda$的函数，$λ$-调和射线上后代数的平均值如何变化？是否单调？
• RQ5 能否在Galton-Watson树上显式构造调和流规则的平稳测度，以分析调和测度的维数？

主要发现

• 对于所有$\lambda \in (0,m)$，$λ$-调和测度的Hausdorff维数几乎必然严格大于可见测度：$d_\lambda > \mathbf{GW}[\log \nu]$。
• 当$\lambda \to 0^+$时，Hausdorff维数$d_\lambda$收敛于$\mathbf{GW}[\log \nu]$，即可见测度的维数。
• 当$\lambda \to m^-$时，Hausdorff维数$d_\lambda$收敛于$\log m$，即全边界$\partial\mathbb{T}$的维数。
• $λ$-调和射线上后代数的期望几乎必然介于$m$与$m^{-1}\sum k^2 p_k$之间。
• 对于$0 < \lambda \leq 1$，$λ$-调和射线上后代数的期望几乎必然严格大于$λ$-偏向随机游走轨迹上的后代数。
• $λ$-偏向游走轨迹上后代数的平均值在$\lambda$上并非单调，这由$B_\lambda(k)$的非单调性所表明。