[论文解读] Harmonic self-maps of cohomogeneity one manifolds

Thomas Puettmann, Anna Siffert|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过在同余维数一流形上求解等变映射的非线性奇异边值问题，构造了如 SO(4ℓ+2)、SO(8)、SO(10)、SO(14) 和 SO(26) 等紧致李群的新调和自映射。引入了使用 $(k,r)$-映射的几何框架，并证明当法向分量与切向分量均消失时，张力场消失，从而得到度数分别为 -3、-5、-7 和 -11 的显式调和映射。

ABSTRACT

We develop the theory of equivariant harmonic self-maps of compact cohomogeneity one manifolds and construct new harmonic self-maps of the compact Lie groups SO(4L+2), L >= 1, with degree -3, of SO(8), SO(14) and SO(26) with degree -5 each, of SO(10) with degree -7, and of SO(14) with degree -11 by exhibiting linear solutions to non-linear singular boundary value problems.

研究动机与目标

• 开发在具有群作用的紧致同余维数一流形上等变调和自映射的理论。
• 通过允许更一般的不变度量和超越齐次空间的几何构造，扩展Urakawa的结果。
• 构造如 SO(4ℓ+2)、SO(8)、SO(10)、SO(14) 和 SO(26) 等紧致李群的新拓扑非平凡调和自映射。
• 求解张力场法向分量的非线性奇异边值问题，并通过李代数条件验证切向分量的消失。
• 建立一个框架，使得非线性问题的线性解能产生具有指定度数的调和映射。

提出的方法

• 将 $(k,r)$-映射定义为等变映射 $g \cdot \gamma(t) \mapsto g \cdot \gamma(r(t))$，其中 $r: [0,L] \to \mathbb{R}$ 是光滑函数，满足 $r(0)=0$，$r(L)=kL$。
• 利用平行移动 $\Pi_t^{r(t)}$ 和作用场同态 $J_t^{r(t)}$，推导张力场法向分量与切向分量的显式公式。
• 将张力场的法向分量表示为 $\tau^{\perp}_{|\gamma(t)} = \ddot{r}(t) - \dot{r}(t)\operatorname{trace} S_{|\gamma(t)} + \operatorname{trace}\left( (J_t^{r(t)})^* (\Pi_t^{r(t)})^{-1} S_{|\gamma(r(t))} \Pi_t^{r(t)} J_t^{r(t)} \right)$。
• 将切向分量表示为 $\tau^{\tan}_{|\gamma(t)} = -\sum_{\mu,\nu=1}^n \langle [E_\mu, F_\nu]^*, E_\mu^* \rangle_{|\gamma(r(t))} F_\nu^*_{|\gamma(r(t))}$，使用基本向量场的正交基。
• 证明当李括积 $[\tilde{E}_\mu, \tilde{F}_\nu]$ 在度量下与 $\tilde{E}_\mu$ 正交时，切向分量消失，该条件通过 $\mathfrak{so}(n)$ 的表示论分解验证。
• 使用三角恒等式（引理 8.1 和 8.2）在特定情形（如球面上的 $(g,m)$-和 $(g,m_0,m_1)$-作用，以及 $\mathrm{SO}(n+2)$）下评估法向分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，同余维数一流形上的 $(k,r)$-映射成为调和映射？
• RQ2 能否显式求解张力场法向分量的非线性奇异边值问题，以获得调和自映射？
• RQ3 张力场的切向分量在何时消失？何种李理论条件可确保这一点？
• RQ4 通过等变同余维数一映射构造的紧致李群（如 SO(n)）的调和自映射可能具有哪些度数？
• RQ5 如何利用三角恒等式验证对称情形下法向张力场的消失？

主要发现

• 本文通过求解张力场方程，构造了 $\mathrm{SO}(4\ell+2)$（$\ell \geq 1$）的新调和自映射，其度数为 -3。
• 展示了 $\mathrm{SO}(8)$、$\mathrm{SO}(14)$ 和 $\mathrm{SO}(26)$ 的调和自映射，度数均为 -5，其构造基于非线性边值问题的线性解。
• 构造了度数为 -7 的 $\mathrm{SO}(10)$ 的调和自映射，以及度数为 -11 的 $\mathrm{SO}(14)$ 的另一调和自映射。
• 当李括积 $[\tilde{E}_\mu, \tilde{F}_\nu]$ 在度量下与 $\tilde{E}_\mu$ 正交时，张力场的切向分量消失，该性质源于 $\operatorname{ad}_{\tilde{F}_\nu}$ 的反对称性以及 $\mathfrak{so}(n)$ 分解为 $\tilde{\mathfrak{m}}_i$ 和 $\mathfrak{so}(6)$。
• 当 $r(t)$ 满足非线性常微分方程 $\ddot{r}(t) - \dot{r}(t)\operatorname{trace} S_{|\gamma(t)} + \operatorname{trace}\left( (J_t^{r(t)})^* (\Pi_t^{r(t)})^{-1} S_{|\gamma(r(t))} \Pi_t^{r(t)} J_t^{r(t)} \right) = 0$ 且边界条件为 $r(0)=0$，$r(L)=kL$ 时，法向分量消失。
• 使用三角恒等式（引理 8.1 和 8.2）验证了在对称情形（如 $\mathbb{S}^{n+1}$ 上的 $(g,m)$-作用和 $\mathrm{SO}(n+2)$）下法向张力场的消失。