[论文解读] Harnessing Data Asymmetry: Manifold Learning in the Finsler World

Thomas Dagès, Simon Weber+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2026

Morphological variations and asymmetry被引用 0

一句话总结

论文提出一种基于 Finsler 的流形学习管线，通过 Randers 度量构建并嵌入非对称相似性，扩展 t-SNE 和 UMAP 以适用于非对称数据，并在合成数据与真实数据集上相对于欧几里得基线显示出改进的嵌入效果。

ABSTRACT

Manifold learning is a fundamental task at the core of data analysis and visualisation. It aims to capture the simple underlying structure of complex high-dimensional data by preserving pairwise dissimilarities in low-dimensional embeddings. Traditional methods rely on symmetric Riemannian geometry, thus forcing symmetric dissimilarities and embedding spaces, e.g. Euclidean. However, this discards in practice valuable asymmetric information inherent to the non-uniformity of data samples. We suggest to harness this asymmetry by switching to Finsler geometry, an asymmetric generalisation of Riemannian geometry, and propose a Finsler manifold learning pipeline that constructs asymmetric dissimilarities and embeds in a Finsler space. This greatly broadens the applicability of existing asymmetric embedders beyond traditionally directed data to any data. We also modernise asymmetric embedders by generalising current reference methods to asymmetry, like Finsler t-SNE and Finsler Umap. On controlled synthetic and large real datasets, we show that our asymmetric pipeline reveals valuable information lost in the traditional pipeline, e.g. density hierarchies, and consistently provides superior quality embeddings than their Euclidean counterparts.

研究动机与目标

• 揭示传统对称数据构造在流形学习中的不一致性。
• 通过使用 Finsler 度量来丰富数据表示来拥抱采样引发的非对称性。
• 将数据嵌入到一个规范的 Finsler（Randers）空间中，并将现代嵌入方法如 t-SNE、UMAP 推广到非对称设置。
• 开发可扩展的、带有高效优化的非对称嵌入方法。
• 在合成数据和真实数据集上展示面向非对称性的嵌入的实际益处。

提出的方法

• 从数据构建非对称相似性，使用局部度量缩放和基于密度的变换而不进行对称化。
• 嵌入到规范的 Randers（Finsler）空间以捕捉方向性非对称性。
• 通过在嵌入目标中用 Finsler 距离替代欧几里得距离，将现代嵌入方法推广到非对称数据。
• 推导用于 Finsler t-SNE 与 Finsler UMAP 的显式梯度和更新规则，实现可扩展优化。
• 通过适应稀疏相似性和基于梯度的优化来提高计算效率。
• 为面向非对称的数据构造及其对嵌入的影响提供理论依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 采样引发的非对称性如何影响假设对称性的传统流形学习管道？
• RQ2 Finsler 几何，特别是 Randers 度量，是否能够在嵌入过程中有效编码和利用数据相似性的非对称性？
• RQ3 在合成数据和真实数据集上，非对称 Finsler 嵌入（Finsler t-SNE、Finsler UMAP）是否在聚类与表示质量方面优于对称欧几里得嵌入？
• RQ4 如何将现代嵌入技术扩展到大规模处理非对称数据？
• RQ5 通过非对称嵌入还能恢复哪些在对称管线中丢失的额外信息，如密度层次等？

主要发现

• 从数据构建的非对称相似性揭示了对称嵌入未能捕捉的密度相关结构。
• 在跨多个数据集的标签相关聚类指标上，Finsler 嵌入始终优于欧几里得基线。
• Finsler t-SNE 与 Finsler UMAP 在 Randers 嵌入框架中提供带显式梯度的可扩展优化。
• 密度层次和簇表示在 Finsler 嵌入中比对称方法更清晰地呈现。
• 在合成数据和真实数据集（包括美國城市与图像分类基准）上的实验显示，所提出方法的嵌入质量更高。