[论文解读] Hasse Diagrams for Gapless SPT and SSB Phases with Non-Invertible Symmetries

Lakshya Bhardwaj, Daniel Pajer+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2024

Molecular spectroscopy and chirality被引用 15

一句话总结

本论文在 Drinfeld 中心的可凝结代数上构建 Hasse 图，以分类带有包含非可逆在内的融合范畴对称性的 1+1D 无隙（gapless）与有隙（gapped）相，提出内在的无隙 SPT/SSB 相并给出具体实例，包括 Rep(D8) 的首个 igSPT。

ABSTRACT

We discuss (1+1)d gapless phases with non-invertible global symmetries, also referred to as categorical symmetries. This includes gapless phases showing properties analogous to gapped symmetry protected topological (SPT) phases, known as gapless SPT (or gSPT) phases; and gapless phases showing properties analogous to gapped spontaneous symmetry broken (SSB) phases, that we refer to as gapless SSB (or gSSB) phases. We fit these gapless phases, along with gapped SPT and SSB phases, into a phase diagram describing possible deformations connecting them. This phase diagram is partially ordered and defines a so-called Hasse diagram. Based on these deformations, we identify gapless phases exhibiting symmetry protected criticality, that we refer to as intrinsically gapless SPT (igSPT) and intrinsically gapless SSB (igSSB) phases. This includes the first examples of igSPT and igSSB phases with non-invertible symmetries. Central to this analysis is the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT), where each phase corresponds to a condensable algebra in the Drinfeld center of the symmetry category. On a mathematical note, gSPT phases are classified by functors between fusion categories, generalizing the fact that gapped SPT phases are classified by fiber functors; and gSSB phases are classified by functors from fusion to multi-fusion categories. Finally, our framework can be applied to understand gauging of trivially acting non-invertible symmetries, including possible patterns of decomposition arising due to such gaugings.

研究动机与目标

• 发展一个相图框架（Hasse 图），用于具有范畴对称性的 (1+1)维相态，涵盖有隙与无隙的 SPT/SSB 相。
• 使用对称性拓扑场理论（SymTFT）将相态编码为 Drinfeld 中心 Z(S) 中的可凝结代数。
• 将 gSPT/igSPT 与 gSSB/igSSB 的分类推广到非厄可逆的融合范畴对称性。
• 给出具体计算与实例，针对特定对称性如 Vec(S3)、Rep(D8)，以及带有非可逆结构的 Rep(D8)。

提出的方法

• 将对称性 S 的 d 维理论的 SymTFT 描述为一个带对称性边界和物理边界的区间。
• 通过 Drinfeld 中心 Z(S) 中的可凝结代数 A 对 S-对称相进行分类，并在 A1 是 A2 的子代数时施加偏序 A1 ≤ A2。
• 通过体相拓扑缺陷的区间紧化构造相电荷；电荷由 Z(S) 的对象标记，并受边界上的拉格朗日代数约束。
• 通过对应的可凝结代数是否为极大（拉格朗日）来区分有隙与无隙相。
• 引入并识别内在的无隙 SPT（igSPT）与无隙 SSB（igSSB）相，这些相无变形可以连接到有隙对应态。
• 给出 Z4 gSPT 及 Rep(D8) 的 gSPT/SSB 等例子的显式计算，以说明 Hasse 图结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用可凝结代数在一个统一的偏序框架中组织所有 S-对称的（有隙与无隙）相？
• RQ2 内在的无隙相（igSPT/igSSB）有哪些？如何在 Hasse 图中检测到它们？
• RQ3 非可逆（融合范畴）对称性如何改变 SPT/SSB 分类及相关的相边界？
• RQ4 对于如 Rep(D8) 及其相关的非可逆对称性，igSPT/igSSB 的具体实例有哪些，电荷在 IR/UV 中如何实现？
• RQ5 SymTFT 与可凝结代数数据在 (1+1)D 系统中如何编码对称性间隙 Δ_S 与普通间隙 Δ？

主要发现

• 一个统一的 Hasse 图框架用于对融合范畴对称性下的 (1+1)d 有隙和无隙 SPT/SSB 相进行分类。
• 鉴定内在的无隙 SPT（igSPT）和无隙 SSB（igSSB）相，包括针对非可逆对称性 Rep(D8) 的首个 igSPT。
• 证明相结构可以从 Z(S) 中的可凝结代数及其与对称性边界 L_S 的交集读取，得到显式的相类型（gSPT、igSPT、gSSB、igSSB）。
• 对 Vec(S3)、Rep(D8) 及 Rep(D8m) 的明确分析显示，非可逆对称性可具有 igSPT 相与更丰富的 Hasse 结构。
• SymTFT 公式将电荷和序参数编码为对称性与物理边界上的可终结任意子，阐明对称性间隙 Δ_S 与谱间隙 Δ 的区分。
• 在相同 SymTFT 条件下，将 S 改为 S′ 时，Hasse 图保持不变，尽管相的解释会变化。