[论文解读] $\hat{G}$-invariant quasimorphisms and symplectic geometry of surfaces

Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文引入了群 $Ģ{G}$ 的正规子群 $G$ 上的 $Ģ{G}$-不变拟同态，建立了 $(Ģ{G},G)$-换位子长度的巴瓦德型对偶性。该框架被应用于辛几何，证明了在高亏格曲面上，通量同态不存在截面，并表明 Py 的 Calabi 拟同态与 Entov–Polterovich 的部分 Calabi 拟同态无法延拓至整个辛同胚群。

ABSTRACT

Let $\hat{G}$ be a group and $G$ its normal subgroup. In this paper, we study $\hat{G}$-invariant quasimorphisms on $G$ which appear in symplectic geometry and low dimensional topology. As its application, we prove the non-existence of a section of the flux homomorphism on closed surfaces of higher genus. We also prove that Py's Calabi quasimorphism and Entov-Polterovich's partial Calabi quasimorphism are non-extendable to the group of symplectomorphisms. We show that Py's Calabi quasimorphism is the unique non-extendable quasimorphism to some group.

研究动机与目标

• 开发群 $Ģ{G}$ 的正规子群 $G$ 上的 $Ģ{G}$-不变拟同态理论，其动机源于辛拓扑与低维拓扑中的应用。
• 建立类似于巴瓦德对偶性的对偶定理，将 $(Ģ{G},G)$-换位子长度与 $Ģ{G}$-不变拟同态联系起来。
• 解决拟同态的延拓问题，特别是在辛群与通量同态的背景下。
• 利用 $Ģ{G}$-不变拟同态的结构，证明在闭曲面（亏格 $g \geq 2$）上，通量同态不存在截面。
• 证明 Py 的 Calabi 拟同态与 Entov–Polterovich 的部分 Calabi 拟同态无法延拓至辛同胚群的全群，并表明 Py 的拟同态在某一类中是唯一的不可延拓者。

提出的方法

• 将 $Ģ{G}$-不变拟同态定义为在 $G$ 上的齐次拟同态，且在 $Ģ{G}$ 的元素共轭下不变，其缺陷 $D(\phi)$ 衡量其与同态的偏离程度。
• 为 $x \in [\u0122{G},G]$ 引入 $(\u0122{G},G)$-换位子长度 $\mathrm{cl}_{\u0122{G},G}(x)$，将其推广为包含 $\u0122{G}$ 共轭的换位子长度。
• 证明一种巴瓦德型对偶性：$\mathrm{scl}_{\u0122{G},G}(x) = \sup_{\phi \in Q(G)^{\u0122{G}}} \frac{1}{2} \frac{|\phi(x)|}{D(\phi)}$，将稳定 $(\u0122{G},G)$-换位子长度与 $\u0122{G}$-不变拟同态联系起来。
• 利用有界上同调中的七项正合列，将 $Q(G)^{\u0122{G}}$ 与 $H^2(H;\mathbb{R})$ 关联起来，其中 $H = \u0122{G}/G$，并确立从 $Q(G)^{\u0122{G}}/Q(\u0122{G})$ 到 $H^2(H;\mathbb{R})$ 的映射 $\tau_{\u0122{G}}$ 的单射性。
• 将对偶性与上同调工具应用于辛流形，特别是曲面，利用通量同态 $\mathrm{Flux}_\omega: \mathrm{Symp}_0(M,\omega) \to H^1(M;\mathbb{R})/\Gamma_\omega$。
• 利用 $H^1(M;\mathbb{R})/\Gamma_\omega$ 的平展性与 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 的完全性，约束 $\u0122{G}$-不变拟同态的空间，并证明不可延拓性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳定 $(\u0122{G},G)$-换位子长度是什么？它与 $\u0122{G}$-不变拟同态有何关系？
• RQ2 在何种条件下，$G$ 上的拟同态可以延拓至 $\u0122{G}$？何时这种延拓不可能？
• RQ3 在闭曲面（亏格 $g \geq 2$）上，辛同胚群的通量同态是否允许存在截面？
• RQ4 Py 的 Calabi 拟同态与 Entov–Polterovich 的部分 Calabi 拟同态是否可延拓至整个辛同胚群？
• RQ5 在某些辛曲面上，Py 的 Calabi 拟同态是否是 $\u0122{G}$-不变拟同态空间中唯一的不可延拓者？

主要发现

• 本文建立了 $(\u0122{G},G)$-换位子长度的巴瓦德型对偶性：对 $x \in [\u0122{G},G]$，有 $\mathrm{scl}_{\u0122{G},G}(x) = \sup_{\phi \in Q(G)^{\u0122{G}}} \frac{1}{2} \frac{|\phi(x)|}{D(\phi)}$。
• 利用映射 $\tau_{\u0122{G}}$ 的单射性与 $H^2(H;\mathbb{R})$ 的结构，证明了在闭曲面（亏格 $g \geq 2$）上，通量同态不存在截面。
• 证明了在 $\mathrm{Ham}(\Sigma,\omega)$ 上的 Py 的 Calabi 拟同态无法延拓至 $\mathrm{Symp}_0(\Sigma,\omega)$，且在该类中是唯一的不可延拓拟同态。
• Entov–Polterovich 的部分 Calabi 拟同态也无法延拓至辛同胚群，证实了其在更大群下的内在不变性。
• 通过上同调方法，证明当 $H \cong \mathbb{Z}^N$ 时，空间 $Q(\mathrm{Ham}(M,\omega))^{\u0122{G}}/Q(\u0122{G})$ 的维数至多为 $N(N-1)/2$。
• 对于亏格 $g \geq 2$ 的曲面 $\Sigma$，空间 $Q(\mathrm{Ham}(\Sigma,\omega))^{\hat{G}_0}/Q(\hat{G}_0)$ 的维数至多为 1，且由于 $[\mu_P]$ 非平凡，其维数恰好为 1，从而证明了不可延拓拟同态的唯一性。