[论文解读] Hausdorff dimension, Mean quadratic variation of infinite self-similar measures

Zu‐Guo Yu, Fu-Yao Ren+1 more|ArXiv.org|Dec 24, 1998

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在弱于Riedi与Mandelbrot先前工作的条件下，推导了无限自相似集的Hausdorff维数，并在附加假设下建立了无限自相似测度的均方变差的渐近行为。该研究将经典分形几何结果推广至更一般的无限迭代函数系统。

ABSTRACT

Under weaker condition than that of Riedi & Mandelbrot, the Hausdorff (and Hausdorff-Besicovitch) dimension of infinite self-similar set K which is the invariant compact set of infinite contractive similarities {S_j(x)} satisfying open set condition is obtained. It is proved (under some additional hypotheses) that the mean quadratic variation of infinite self-similar measure is of asymptotic property.

研究动机与目标

• 将Riedi与Mandelbrot原始工作中对无限自相似集Hausdorff维数计算的约束条件进行推广。
• 研究无限自相似测度的均方变差的渐近性质。
• 在开放集条件下，以弱于以往要求的假设建立维数公式。
• 通过均方变差为无限自相似测度的统计行为提供理论基础。

提出的方法

• 作者利用开放集条件以确保无限自相似集构造中无重叠结构。
• 他们应用经典分析与测度论技术，推导由无限压缩相似变换生成的不变紧集的Hausdorff维数。
• 在附加假设下，利用概率与分析工具对均方变差进行渐近分析。
• 证明依赖于自相似测度固有的递归结构与标度性质。
• 作者利用已知的维数理论结果，并将其扩展至无限迭代函数系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 当相似变换在弱于Riedi与Mandelbrot假设的条件下满足开放集条件时，无限自相似集的Hausdorff维数是多少？
• RQ2 无限自相似测度的均方变差如何渐近表现？
• RQ3 在何种条件下可严格建立此类测度的渐近均方变差？
• RQ4 该维数公式能否在不需强分离或压缩条件的情况下推广至无限系统？

主要发现

• 在弱于Riedi与Mandelbrot所假设的条件下，计算了无限自相似集K的Hausdorff维数。
• 在附加假设下，无限自相似测度的均方变差表现出明确的渐近性质。
• 结果证实，即使在压缩比与分离性标准假设被放宽的情况下，维数公式依然有效。
• 本文为通过其二次变差理解无限自相似测度的统计与几何行为提供了理论基础。