[论文解读] Hausdorff Dimension of Non-Wandering Sets for Average Conformal Hyperbolic Maps

Paul E. Wright|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文将平均共形排斥子的概念扩展至平均共形双曲集，利用广义压强函数建立了此类集合的豪斯多夫维数公式。主要贡献在于，提出了一种类似于共形排斥子的维数公式，适用于在平均共形条件下满足非共形双曲系统的维数计算。

ABSTRACT

The Hausdorff dimension of a conformal repeller or conformal hyperbolic set is well understood. For non-conformal maps, the Hausdorff dimension is only known in some special cases. Ban, Cao and Hu defined the concept of an average conformal repeller which generalises conformal, quasi-conformal and weakly conformal repellers, and they found an equation for the Hausdorff dimension for an average conformal repeller. In this paper we generalise this concept to average conformal hyperbolic sets, and obtain a similar equation for the Hausdorff dimension.

研究动机与目标

• 将平均共形排斥子的概念推广至非共形动力系统中的双曲集。
• 建立平均共形双曲集豪斯多夫维数的公式。
• 将已知的共形系统维数结果扩展至更广泛的非共形双曲系统类别。
• 为具有可变收缩/扩张率的系统提供统一的维数计算框架。

提出的方法

• 引入平均共形双曲集的概念，推广共形与拟共形动力系统。
• 利用李雅普诺夫指数与雅可比行列式增长，定义适用于非共形设定的压强函数。
• 运用热力学形式化方法，将压强与非游荡集的维数联系起来。
• 建立变分原理，通过平衡态将压强与豪斯多夫维数关联。
• 证明维数由广义压强函数的零点决定。
• 将班、曹与胡关于平均共形排斥子的工作中的技术方法，适配至双曲设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将平均共形性的概念从排斥子推广至双曲集？
• RQ2 在具有可变共形性的非共形双曲系统中，应使用何种适当的压强函数？
• RQ3 能否为平均共形双曲集推导出豪斯多夫维数的公式？
• RQ4 平均共形双曲集的维数公式与共形系统中已知结果相比有何异同？

主要发现

• 平均共形双曲集的豪斯多夫维数由广义压强函数的零点决定。
• 该维数公式将共形排斥子的已知结果推广至非共形双曲设定。
• 该方法适用于李雅普诺夫指数变化但共形性在轨道上平均的系统。
• 在雅可比行列式与李雅普诺夫指数的适度正则性及增长条件下，该结果成立。