[论文解读] Hausdorff dimension of the graphs of the classical Weierstrass functions

Weixiao Shen|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文通过基于 Ledrappier 准则的动态系统方法，证明了经典 Weierstrass 函数 $\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \cos(2\pi b^n x)$ 图像的 Hausdorff 维数在整数 $b \geq 2$ 且 $\lambda \in (1/b, 1)$ 时恰好为 $2 + \log \lambda / \log b$，该结果证实了此类连续但处处不可微函数长期存在的猜想。

ABSTRACT

We show that the graph of the classical Weierstrass function $\sum_{n=0}^\infty λ^n \cos (2πb^n x)$ has Hausdorff dimension $2+\logλ/\log b$, for every integer $b\ge 2$ and every $λ\in (1/b,1)$. Replacing $\cos(2πx)$ by a general non-constant $C^2$ periodic function, we obtain the same result under a further assumption that $λb$ is close to $1$.

研究动机与目标

• 解决长期存在的猜想：经典 Weierstrass 函数图像的 Hausdorff 维数等于 $D = 2 + \log\lambda / \log b$。
• 将该结果推广至一般 $C^2$ $\mathbb{Z}$-周期函数 $\phi$，而不仅限于余弦函数，前提是 $\lambda b - 1$ 满足一个小性条件。
• 通过遍历理论及与扩张自同态相关的不变测度的局部维数，建立维数结果。
• 验证动态系统框架下的改进横截性条件，使 Ledrappier 准则得以应用。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ 上使用扩张自同态 $\Phi(x,y) = (bx \mod 1, (y - \hat{\phi}(x))/\lambda)$，其不变排斥子即为 $f_{\lambda,b}^\phi$ 的图像。
• 应用 Ledrappier 定理，将 Hausdorff 维数问题转化为验证几乎处处 $x \in (0,1)$ 的测度 $m_x$ 的局部维数为 1。
• 定义函数 $S(x,\mathbf{u}) = \sum_{n=1}^{\infty} \gamma^{n-1} \psi\left(\frac{x}{b^n} + \sum_{i=1}^n \frac{u_i}{b^i}\right)$，其中 $\gamma = 1/(\lambda b)$ 且 $\psi = \phi'$，表示强不稳定流形的斜率。
• 将测度 $m_x$ 构造为从 $\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^+}$ 上的 Bernoulli 测度 $\mathbb{P}$ 通过映射 $\mathbf{u} \mapsto S(x,\mathbf{u})$ 的前推。
• 采用改进的横截性条件，并对 dyadic 方块中测度衰减的估计，以控制 $m_x$ 的局部维数。
• 利用 Birkhoff 遍历定理与 Egorov 定理分析典型轨道，推导出图测度局部维数的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于整数 $b \geq 2$ 且 $\lambda \in (1/b, 1)$，Weierstrass 函数图像 $W_{\lambda,b}$ 的 Hausdorff 维数是否等于 $D = 2 + \log \lambda / \log b$？
• RQ2 该维数结果能否推广至一般 $C^2$ $\mathbb{Z}$-周期函数 $\phi$，而不仅限于 $\cos(2\pi x)$？
• RQ3 在何种 $\lambda$ 与 $b$ 条件下，可保证测度 $m_x$ 的局部维数几乎处处为 1？
• RQ4 如何在 Tsujii 框架中调整横截性条件，以证明 $\lambda \in (1/b, 1)$ 全范围内的维数结果？

主要发现

• 对于所有整数 $b \geq 2$ 且 $\lambda \in (1/b, 1)$，函数 $W_{\lambda,b}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n \cos(2\pi b^n x)$ 的图像 Hausdorff 维数恰好为 $2 + \log \lambda / \log b$。
• 对于任意非常值 $C^2$ $\mathbb{Z}$-周期函数 $\phi$，存在 $K_0 = K_0(\phi,b) > 1$，使得当 $1 < \lambda b < K_0$ 时，$f_{\lambda,b}^\phi$ 的图像 Hausdorff 维数为 $D = 2 + \log \lambda / \log b$。
• 该证明表明，对于 Lebesgue 几乎处处 $x \in (0,1)$，测度 $m_x$ 的局部维数为 1，根据 Ledrappier 定理，这意味着图像的维数为 $D$。
• 该方法证实了经典 Weierstrass 函数的猜想，尽管其盒维数与填满维数早已被证明等于 $D$，但该猜想长期悬而未决。
• 通过验证改进的横截性条件，并利用遍历理论控制 dyadic 方块中测度的衰减，获得了该结果。