[论文解读] Hausdorff property of the Neron models of Green, Griffiths and Kerr

Morihiko Saito|ArXiv.org|Mar 19, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 8被引用 9

一句话总结

该论文在无穷远处的除子光滑的假设下，证明了格林、格里菲斯和柯尔所构造的中间雅可比簇的Néron模型的Hausdorff性质。通过建立Zucker扩张的范数估计，并利用可接受正规函数的结果，作者证明此类函数的零点集的闭包是解析的，从而确认了Hodge理论中关于零点集代数性的一个关键情形。

ABSTRACT

We prove the Hausdorff property of the Neron modle of the family of intermediate Jacobians which is recently defined by Green, Griffiths and Kerr assuming that the divisor at infinity is smooth. Using their result, this implies in this case the analyticity of the closure of the zero locus of an admissible normal function. The last assertion is also obtained by Brosnan and Pearlstein generalizing their method in the curve case.

研究动机与目标

• 建立格林、格里菲斯和柯尔所定义的中间雅可比簇的Néron模型的Hausdorff性质。
• 证明当无穷远处的除子光滑时，可接受正规函数的零点集闭包是解析的。
• 在局部上同调不变量为挠的情况下，验证权重 $ w = -1 $ 时的猜想2（关于零点集闭包的解析性），并将其推广至 $ w < -1 $ 的情形。
• 通过Zucker扩张框架中的范数估计，将曲线情形的结果推广至更高维基流形。

提出的方法

• 基于局部上同调不变量的分解，将问题约化为单值局部单缘性的情形。
• 将Zucker扩张 $ J^Z_{\bar{S}}(\mathbf{H}) = \widehat{\mathcal{V}} / \widehat{\Gamma} $ 视为 $ \bar{S} $ 上的复李群，其中 $ \widehat{\mathcal{V}} $ 是Hodge丛的Deligne扩张。
• 在Deligne扩张中对Hodge范数应用范数估计，以控制Zucker扩张在边界除子 $ D $ 附近的拓扑结构。
• 使用正规函数 $ \nu $ 的多值提升 $ \widetilde{\nu} $，并分析其与 $ \Gamma $ 和 $ \frac{1}{m}\widehat{\Gamma} $ 的交点，以研究零点集。
• 利用当局部上同调不变量为零时 $ \widetilde{\nu}^\prime(0) \in J^{\mathrm{GGK}}_{\bar{S}}(\mathbf{H})^0 $ 的事实，从而可应用推论 (2.7)。
• 利用Néron模型作为分量 $ Y_\nu $ 的并集的识别，通过在 $ \frac{1}{m}\widehat{\Gamma} $ 中构造邻域来证明点的分离性，从而证明Hausdorff性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当无穷远处的除子光滑时，可接受正规函数的零点集闭包是否为解析的？
• RQ2 在边界除子光滑的条件下，中间雅可比簇的Néron模型 $ J^{\mathrm{GGK}}_{\bar{S}}(\mathbf{H}) $ 是否满足Hausdorff分离公理？
• RQ3 当局部上同调不变量为挠时，能否在权重 $ w = -1 $ 及 $ w < -1 $ 的情形下建立零点集的解析性？
• RQ4 Brosnan与Pearlstein在曲线情形下的结果在多大程度上可推广至更高维基空间？

主要发现

• 当无穷远处的除子光滑且 $ w = -1 $ 时，Néron模型 $ J^{\mathrm{GGK}}_{\bar{S}}(\mathbf{H}) $ 是Hausdorff的。
• 当 $ D $ 光滑且 $ w = -1 $ 时，可接受正规函数的零点集闭包在 $ \bar{S} $ 中是解析的。
• 若局部上同调不变量非零且单缘性为单值，则零点集闭包完全位于 $ S $ 内部，不与 $ D $ 相交。
• 当 $ w < -1 $ 时，若局部上同调不变量为挠，则上述结论仍然成立。
• 当局部上同调不变量非零且单缘性为单值时，在边界除子 $ D $ 的邻域内零点集为空。
• 证明依赖于Zucker扩张中的范数估计，以及Néron模型作为Deligne扩张对整格 $ \widehat{\Gamma} $ 的商的结构。